Traces d'opérateur dans la quantification de Kontsevich
En quantification, on étudie les cartes des fonctions sur l'espace des phases aux opérateurs agissant sur l'espace de Hilbert. Fixons une de ces cartes et appelons-la$Q$.
La quantification des déformations est basée sur l'idée que $Q$ peut être étudié indirectement, en dotant l'espace vectoriel linéaire des fonctions sur l'espace des phases d'un produit en étoile non commutatif:
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevich donne une formule explicite pour le produit étoile qui peut être appliquée à n'importe quel espace de phase compact et donne une algèbre associative avec un comportement correct dans le$\hbar \rightarrow 0$limite. On prétend donc souvent que la formule de Kontsevich résout le problème de longue date de prouver que toute variété symplectique compacte admet une quantification.
Cependant, l'autre ingrédient important de la mécanique quantique est la trace d'un opérateur. Les traces sont essentielles pour la prédiction physique, c'est-à-dire que les valeurs d'espérance des observables sont des traces des opérateurs correspondants multipliées par la matrice de densité.
La formule de Kontsevich ne me donne pas de carte de quantification, seulement le produit étoile. Alors, comment calculer$\text{tr} Q(f)$ en sachant seulement $f$?
Une réponse possible que je vois est que la formule classique tient: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
Ici $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ est la forme volumique associée à la forme symplectique $\omega$, et l'intégrale est sur l'espace des phases.
Mais je n'ai jamais entendu personne dire de manière définitive qu'en effet cette intégrale d'espace de phase est la contrepartie de la trace d'opérateur dans la quantification de déformation, et je ne peux pas trouver un bon argument pour montrer $\mathcal{O}(\hbar)$ les corrections n'apparaissent pas.
Mes questions sont:
- Faire $\mathcal{O}(\hbar)$ des corrections à l'intégrale d'espace des phases apparaissent-elles en général?
- Si c'est le cas, existe-t-il une formule explicite pour la trace?
- Si ce n'est pas le cas, comment puis-je m'en convaincre?
Réponses
Wikipedia indique les propriétés suivantes pour déterminer de manière unique l'opération de trace (jusqu'aux multiples scalaires):
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
Pour tout linéaire $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ satisfera les trois propriétés. $\int f d\Omega $satisfait clairement (1) et (2). Pour (3), nous voulons montrer que$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. Il est facile de montrer que le$O(1)$ et $O(\hbar)$ les termes disparaissent pour assez gentil $f,g$(utilisant l'intégration par parties et l'équivalence des partiels mixtes). Cependant, je ne comprends pas assez bien les graphiques de Kontsevich pour étendre avec confiance cet argument aux ordres supérieurs$\hbar$. Si vous pouvez trouver une référence ou une explication, faites-le moi savoir. En supposant que l'argument s'étende, nous constatons que$\mathrm{tr} Q(f)$ et $\int f d\Omega $ sont équivalents à un multiple scalaire.
Les valeurs d'attente sont données par $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, nous pouvons donc choisir de normaliser notre opération de trace de telle sorte que $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$Cela devrait suffire à déterminer de manière unique toute la physique. Vous pouvez définir dans un$O(\hbar)$ terme dans la formule intégrale d'origine, mais une fois que vous normalisez votre matrice de densité, cela n'a aucun effet physique.