Triangles congruents à double pavage avec peu de points communs

Question

Lorsque vous voulez vraiment carreler plus d'une couche mais que le carrelage triple est tout simplement trop une bonne chose, le juste milieu est sûrement le double carrelage .

• Comment une mosaïque de plus de 900 sections peut-elle être doublée avec des triangles congruents selon les 6 lignes directrices ci-dessous?

Voici deux exemples de double pavage avec des triangles congruents. Le premier exemple illustre la plupart des lignes directrices de ce casse-tête tandis que le second suit également les lignes directrices les plus strictes.

Dans le premier exemple, huit triangles se chevauchant de 26,6 ° - 63,4 ° - 90 ° doublent une mosaïque carrée de 15 sections où:

1. «Double carrelage» signifie que chaque section d'une mosaïque est complètement recouverte par des portions d'exactement deux tuiles et que toutes les tuiles se trouvent complètement dans cette mosaïque.

2. Les tuiles sont des triangles congruents .

3. Chaque tuile est orientée de manière unique.

4. La mosaïque est contiguë aux bords en ce que toutes les sections peuvent être visitées le long d'un seul chemin ininterrompu qui reste à l'intérieur de la mosaïque tout en traversant les bords des carreaux d'une section à l'autre sans toucher aucun sommet.

Dans le deuxième exemple, quatre triangles congrus 30 ° - 60 ° - 90 ° se chevauchant doublent une mosaïque triangulaire de 4 sections où, de plus:

1. Chaque angle est un nombre entier de degrés.

2. Aucune ligne distincte n'est parallèle. (Les bords parallèles des carreaux peuvent cependant se trouver le long d'une seule ligne continue.)

Défis de primes, réalisabilité inconnue

• Double carreler une mosaïque autre que le deuxième exemple ci-dessus qui suit les 6 directives et ne présente aucun trou.

• Double carreler une mosaïque qui suit les 6 directives et dont le contour n'est pas bilatéralement symétrique .

(Tous les pavages doubles intéressants, y compris ceux avec moins de 901 sections et / ou ceux qui ne respectent pas certaines des directives ci-dessus, méritent des votes d'approbation.)

Answer 1

J'ai une idée que la solution envisagée peut être quelque chose comme

C'est un 45 grammes, 45 étant le plus grand nombre impair permettant encore des angles entiers. Odd pour éviter les lignes parallèles. En tordant au maximum les 45 grammes, c'est-à-dire en choisissant celui avec le nombre maximal de tours complets (22), nous maximisons le nombre de sections dans lesquelles chaque tuile se divise (21) pour un total d'un peu lignes parallèles. Les deux pavages sont obtenus par rotation du triangle autour du centre (en particulier, tous sont congruents et orientés différemment) et par mise en miroir. La continuité des bords est également facile à vérifier car nous avons tout sauf l'anneau le plus intérieur et le territoire à l'extérieur des deux anneaux les plus externes des points d'intersection pour se déplacer librement. Veuillez blâmer OP si vous trouvez l'image trop occupée visuellement ;-D

Pour plus de clarté, voici quelques exemples plus petits:

n = 7: pas d'arête continue, angles non entiers, (n-3) / 2 = 2 sections par carreau

n = 9: pas d'arête continue, angles entiers, (n-3) / 2 = 3 sections par carreau

n = 11 : arête continue, angles non entiers, (n-3) / 2 = 4 sections par tuile

Answer 2

(Wiki communautaire - n'hésitez pas à ajouter ou modifier.)

Au lieu des conseils du poseur de puzzle, voici quelques solutions qui suivent la plupart des directives, mais pas toutes. Dix triangles congrus 36 ° - 72 ° - 72 ° tuiles doubles une mosaïque contiguë de 10 sections mais les triangles ne sont pas orientés de manière unique et la mosaïque a 5 paires de lignes parallèles :

Douze triangles congruents de 30 ° - 60 ° - 90 ° orientés de manière unique doublent une mosaïque contiguë à 12 sections qui comprend encore 6 paires de lignes parallèles :