Trouver l'automorphisme du demi-plan supérieur donné trois points distincts
Supposer $(x_1,x_2,x_3)$ et $(y_1,y_2,y_3)$ sont deux paires de trois points distincts sur l'axe réel avec $x_2<x_2<x_3$ et $y_1<y_2<y_3$. Prouver qu'il existe un automorphisme (unique)$\phi$ de $\mathbb{H}$ de sorte que $\phi(x_j)=$
Je connais déjà la partie d'unicité et je veux prouver l'existence.
Je sais que $Aut(\mathbb{H})=\{\phi:\phi(z)=\frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,d\in\mathbb(R), ad-bc>0\}$. Les automorphismes du demi-plan supérieur me suggèrent de "mettre à l'échelle et conjuguer"$\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$mais je ne semble pas comprendre comment cela fonctionne. j'ai essayé$(y_2-y_1)\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(x_2-x_1)(z-x_3)}+y_1$ pour qu'il envoie $x_1$ à $y_1$ et $x_2$ à $y_2$ mais je ne sais pas pourquoi j'envoie au départ $x_3$ à $\infty$. Quelqu'un pourrait-il m'aider avec cette question? Merci.
Réponses
L'idée est de montrer que
$T(z; x_1, x_2, x_3) = \dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$ est un automorphisme de $\Bbb H$ quelles cartes $x_1, x_2, x_3$ à $0, 1, \infty$, respectivement, et
les automorphismes de $\Bbb H$ formez un groupe.
Donc $$ T(z; y_1, y_2, y_3)^{-1} \circ T(z; x_1, x_2, x_3) $$ est un automorphisme de $\Bbb H$ avec la propriété souhaitée.
Remarque: $\dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$est, jusqu'à une certaine permutation des arguments, le soi-disant «cross-ratio» ou «double ratio» de$z, x_1, x_2, x_3$.