Trouver la hauteur d'un trapèze irrégulier avec des angles et une surface connus

Question

CONNU:

• Longueur DC
• Alpha
• Bêta
• SurfaceS

NÉCESSAIRE:

• Hauteur h

Pour un algorithme, j'ai besoin d'un moyen de résoudre ce problème pour n'importe quel trapèze. Un peu comme cette question ( étant donné un trapèze isocèle connu, trouver la hauteur d'un autre avec les mêmes angles et une base mais une zone différente ) mais pas avec la restriction isocèle.

Tout comme dans cette question, j'ai effectivement toutes les informations sur un trapèze plus grand avec des angles et un courant continu identiques, mais je pense que le seul gain que j'en retire sont les angles.

J'ai importé mon cerveau un moment maintenant sans succès. En partant de la formule pour la surface : S = h * ((AB + DC)/2) je pourrais me retrouver avec la formule : h = (2*S) / (AB + DC) Mais cela n'aide guère car je ne connaître AB. Les formules basées sur les angles nécessitaient également toujours à la fois DC et AB, ou alternativement les longueurs des jambes.

Une autre idée que j'ai eue était de diviser le trapèze en deux triangles rectangles et un carré car résoudre le problème semble être plus facile pour chacun en particulier. Mais après avoir mis en œuvre la moitié de cela, j'ai réalisé que je n'avais aucun moyen de savoir quelle serait la surface souhaitée de chaque figure...

Existe-t-il une solution connue à cela? Immense merci d'avance !

Answer 1

Cela semble être un problème qu'il vaut mieux résoudre en utilisant trig. Envisager:

Tracez une ligne verticale vers le haut à partir de$D$vers un point$E$sur$AB$. Faites de même vers le bas à partir de$B$à$F$sur$CD$.

Nous savons$\overline{DE}$et$\overline{BF}$sont égaux à h.$\overline{BE}$et$\overline{DF}$sont à une distance inconnue$d$.

Comme vous l'avez noté, l'aire est la somme du rectangle et de deux triangles, ce qui est$$S = dh + S(\Delta BFC) + S(\Delta ADE)$$

Et on peut trouver nos longueurs pour les nouveaux segments

$$\overline{CF} = \frac{h}{\tan \beta}$$ $$\overline{AE} = h \tan (\alpha - 90°) = h \tan \gamma$$

Je lance juste gamma comme sous-marin pour alpha - 90° là-dedans pour faciliter la lecture. Et tout cela signifie$$ S = dh + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$

Eh bien, c'est une équation à deux variables. Il nous en faut au moins un de plus. Heureusement, nous connaissons la longueur$\overline{CD}$, et ce doit être :

$$ \overline{CD} = d + \frac{h}{\tan \beta}$$

Les deux dernières substitutions donnent

$$ S = h\left(\overline{CD}-\frac{h}{\tan \beta}\right) + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$

$$ S = h\cdot\overline{CD } + h^2\left(\frac{1}{2}\tan \gamma - \frac{1}{2 \tan \beta}\right)$$

Et je ne vais pas passer par l'équation quadratique avec cela en utilisant des variables, alors branchez vos chiffres réels à ce stade.

J'espère que cela pourra aider! Je vais cependant vérifier rapidement mes pas.