Trouver les racines d'un polynôme$X^2 - X + 19$dans$\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Aug 18 2020

Pour$p = 61$.

on m'a donné les racines de$X^2 + 3$dans$\mathbb Z/p \mathbb Z$, qui sont$\pm 27 + p\mathbb Z$.

Je dois alors trouver les racines de$X^2 - X + 19$dans$\mathbb Z/p\mathbb Z$, que j'ai trouvé sans utiliser les informations précédentes.

Cependant, je suis censé utiliser les informations fournies pour trouver les racines de$X^2 - X + 19$dans$\mathbb Z/p\mathbb Z$, à laquelle, je n'ai aucune idée de comment aller de l'avant.

Réponses

1 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 11:49

Complète le carré.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

Pouvez-vous le prendre d'ici?