Trouver un sous-groupe de $S_5$ isomorphe au quaternion $Q$ [dupliquer]

Question

J'essaye de résoudre ce problème à partir de mon cours d'algèbre abstraite:

Trouver un sous-groupe de $S_5$ (Groupe symétrique d'ordre 5) isomorphe au groupe quaternion $Q$.

J'ai commencé à écrire les éléments de $Q$ pour commencer à essayer quelques exemples et voir si les propriétés du quaternion ont été vérifiées: $$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm j\}.$$ De toute évidence, l'élément $1$ est $(1)(2)(3)(4)(5)$ dans $S_5$.

Puis j'ai essayé avec: $$i=(1234)(5)\ \ , \ \ -i=(1432)(5).$$

Les deux vérifient qu'ils ont l'ordre $5$, et d'eux je reçois $-1=(13)(24)(5)$. Maintenant, je suis coincé, car je pense que je choisis de mauvais éléments parce que je ne trouve pas de bons éléments pour$\pm j$ et $\pm k$. Quelle est la façon la plus simple de résoudre ce genre de problème où l'on vous demande de trouver un sous-groupe isomorphe à un certain groupe?

Toute aide serait appréciée.

Answer 1

Cela ne sera pas possible. La plus petite action de permutation fidèle de$Q_8$est le standard. Autrement dit, le plus petit groupe symétrique contenant$Q_8$ comme un sous-groupe est $S_8$.

Pour voir cela, notez s'il existe un sous-groupe $H\subseteq S_n$ isomorphe à $Q_8$, puis $X=\{1,\cdots,n\}$ porte une action de groupe de $H$. Par le théorème du stabilisateur d'orbite, si cette action est transitive doit être équivalente à une action sur un espace coset$H/K$, ce qui équivaut à $Q_8$ agissant sur $Q_8/N$ pour certains sous-groupes $N\le Q_8$. Mais chaque sous-groupe de$Q_8$ est normal, par inspection, donc une telle action de groupe serait infidèle à moins que le noyau $N$est trivial. Si$X$ n'est pas transitive, alors c'est une union d'orbites non régulières, mais puisque chaque sous-groupe propre de $Q_8$ contient l'élément central $-1$, nous savons $-1$ doit être dans le noyau de cette action, donc encore une fois ce n'est pas fidèle.

Alternativement, nous pouvons trouver $2$-Sylow sous-groupes de $S_n$ et comparer avec $Q_8$. Après tout, si$S_n$ contenait une copie isomorphe de $Q_8$, alors il devrait être contenu dans un $2$-Sylow de taille au moins $2^3$. Pour$n=4$ et donc aussi $n=5$ la $2$-Sylow est le groupe dièdre $D_8$ d'ordre $2^3$ qui n'est pas isomorphe à $Q_8$. En effet pour$n=6$ et donc aussi $n=7$ la $2$-Sylow est $D_8\times C_2$ (contenu dans $S_4\times S_2$) qui n'a pas de paire d'involutions non commutantes générant une copie de $Q_8$.

Donc $S_8$ est le plus petit groupe symétrique contenant $Q_8$ (qui est la représentation par permutation offerte par l'action régulière de gauche, telle qu'utilisée dans le théorème de Cayley).