Trouver une formule pour une transformation linéaire [fermé]

Aug 17 2020

Trouver un exemple de formule de transformation linéaire$\varphi$pour que:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

Comment aborder un tel problème ? Le moyen le plus standard est apprécié.

Réponses

2 ilovebulbasaur Aug 17 2020 at 02:04

$\varphi$est une transformation linéaire$\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, donc la matrice$A$représentant$\varphi$(par rapport à la base standard) est$3$par$4$. Maintenant si$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$alors tout dans le noyau de$A$est orthogonal à$(1,-1,6,2)$, alors fixons$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Nous n'avons pas encore terminé, car nous n'avons pas spécifié les entrées restantes. Mais ce n'est pas difficile, car nous savons$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ce qui implique que tous les vecteurs colonnes sont des multiples scalaires de$(2,3,1)$. Ainsi, par exemple, la première colonne est juste$1/2$fois$(2,3,1)$, qui donne$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$En continuant cette logique, nous pouvons remplir les trois dernières colonnes de la même manière, nous donnant$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$Maintenant, nous avons terminé.

1 azif00 Aug 17 2020 at 01:55

Observe ceci$\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$est l'ensemble de tous les vecteurs de la forme$$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$$y,z$et$t$court sur tous les nombres réels. Alors, choisissez une carte linéaire$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$tel que$$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$et$\varphi(v) = (2,3,1)$pour certains$v \in \mathbb R^4$qui n'est pas dans la durée de$$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

ChrisCuster Aug 17 2020 at 02:03

La matrice suivante en décrit un :$\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.