Trouvez la moyenne du nombre $n \sin n^\circ$ pour $n=2,4,6\cdots,180$ [dupliquer]

Dec 01 2020

On m'a demandé dans un examen de trouver la moyenne du nombre: $$n \sin n^\circ$$ pour $n$=$2,4,6,\cdots,180$

J'ai beaucoup essayé essentiellement avec le produit somme, ou en associant les entrées ... mais à la fin, je ne suis pas en mesure de trouver un moyen de le résoudre, quelqu'un peut-il m'aider avec l'approche?

Réponses

4 d125q Dec 01 2020 at 15:44

Puisque $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, $\sin{90^\circ} = 1$, et $\sin{180^\circ} = 0$, nous pouvons écrire la somme comme $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$

Pour obtenir la moyenne, divisez par le nombre de termes, $90$, et obtenir $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$

Maintenant, $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$. Donc,$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$

Lorsque vous branchez $\text{(**)}$ dans $\text{(*)}$, la plupart $\cos$ les conditions s'annulent et vous vous retrouvez avec $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$

3 Martund Dec 01 2020 at 15:31

\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} Maintenant, appliquez la somme du sinus de la formule AP et vous avez terminé!