Trouvez la somme des séries: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Question

J'ai quelques problèmes avec la théorie des séries. Les questions spécifiques sont les suivantes: \ begin {equation} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ End {equation} Mon idée est juste comme ça :

Depuis $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} Cependant, la réponse est cosh $x$. L'idée principale est basée sur la série de puissance de$e^x$ et $e^{–x}$. Puis ajoutez-les ensemble. Mais je ne comprends toujours pas ce que j'ai fait de mal.

Est-ce que quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît. Je vous remercie.

Answer 1

Ce que tu as fait de mal a changé $(2n)!$ à $2^nn!$.

Vous aviez raison $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,

alors $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ est $0$ quand $n$ est étrange et $1$ quand $n$ est égal, donc cela devient $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

Answer 2

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$