$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, méthode des caractéristiques pour l'équation des flux de trafic avec les données initiales de Riemann
On considère l'équation non conservatrice$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$où$a$est une constante et$f(u)=u(1-u)$.
J'essaie de résoudre cette équation par la méthode des caractéristiques avec la condition initiale$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Par méthode des caractéristiques, j'ai$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, cela signifie que l'équation des caractéristiques est$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$de même que$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
En résolvant ces équations, j'ai atteint jusqu'à$u(x,t)=ax+ g(t)$où$g$est une fonction de$t$seule. Je ne sais pas comment procéder plus loin.
J'ai pu résoudre ce problème lorsque nous avions l'équation$$u_t+(f(u))_x=0$$comme là$u$était constant le long de la ligne des caractéristiques. Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
Notez que les données initiales$u(x,0)$consiste en une discontinuité de saut à partir de$u_l$pour$u_r$, donc ce problème de valeur initiale est un problème de Riemann . Le modèle de flux de trafic populaire Lighthill-Witham-Richards (LWR) est récupéré lorsque$a=0$, et la solution de Riemann correspondante est décrite dans cet article . Abordons le cas de l'arbitraire$a$, par exemple en suivant une approche similaire à ce post . Réglage$v = 1 - 2u$fournit le PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$pour lequel la méthode des caractéristiques donne$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$et$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$ce qui équivaut à la solution trouvée dans la réponse de @Dmoreno. Cependant, pour des données initiales discontinues, la méthode des caractéristiques n'est pas suffisante (elle n'est valable que si$u$est lisse). Ainsi, nous utilisons des méthodes appropriées pour résoudre ce problème au sens faible, voir article connexe . Ici, on retrouve la solution par onde de choc$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$si$v_l > v_r$, et la solution d'onde de raréfaction$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$si$v_l < v_r$. On pourrait vérifier que la même solution$u = \frac{1-v}2$est obtenu en abordant directement le problème initial de l'EDP (sans changer de variable).
À partir de$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$vous obtenez$u - ax = c_1$, et de$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$vous obtenez$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Laisser$c_2 = f(c_1)$dériver une solution implicite pour$u$, déterminé par l'équation
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
Il s'agit maintenant de déterminer$f$partir de la condition initiale et éventuellement résoudre pour$u$. Pouvez-vous le prendre d'ici?