Une autre question sur "tous les moments étranges disparaissent"
[Question inspirée par Exemple de variable aléatoire non dégénérée avec moments impairs = 0 ]
Supposer $X$est une variable aléatoire réelle telle que tous les moments impairs disparaissent. C'est-à-dire$\mathbb E[X^{2n+1}]=0$ pour $n=0,1,2,3\cdots$. S'ensuit-il que$X$ est distribué symétriquement autour de $0$? C'est-à-dire,$X$ et $-X$ ont la même distribution.
Remarque: le cas où $X$est borné se trouve ici: Preuve que$\mathbb{E} X^k = 0$ pour tout bizarre $k$ implique $X$ symétrique pour borné $X$ sans fonctions caractéristiques
Réponses
Laisser $X$ avoir de la densité $$ f(x) = \frac1{48}\left(1-\mathsf{sign}(x)\sin\left(|x|^{\frac14}\right)\right) e^{-|x|^{\frac14}},\ x\in\mathbb R. $$ Puis pour chaque entier positif $n$ on a $$ \mathbb E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\ \mathsf dx = \frac{(1+(-1)^n)(4(n+1))!}{12}. $$ Il s'ensuit immédiatement que $\mathbb E[X^{2n+1}=0]$ pour tous les entiers non négatifs $n$. Il est clair cependant que$f$ n'est pas une fonction uniforme, donc $X$ n'est pas symétrique par rapport à zéro.