Une catégorie avec zéro morphisme implique zéro objet?

Question

Laisser $\mathscr{A}$être une catégorie. Alors on dit que$\mathscr{A}$ est une catégorie sans morphismes si pour tout $A,A'\in\mathscr{A}$ il y a un morphisme nul $0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$, et les morphismes nuls obéissent à un diagramme commutatif particulier (voir wiki ). Supposons maintenant$\mathscr{A}$ a un objet nul $0$. Puis$\mathscr{A}$est une catégorie avec zéro morphisme, et chaque morphisme nul ne passe par l'objet zéro uniquement. Alors que diriez-vous de l'inverse? Si$\mathscr{A}$est une catégorie à morphismes nuls, a-t-elle forcément un objet nul? Sinon, y a-t-il un ou plusieurs contre-exemples simples?

Answer 1

Non, une catégorie avec zéro morphisme n'a pas besoin d'avoir un objet zéro. Un contre-exemple simple est de considérer un anneau différent de zéro$R$ considéré comme une catégorie à un seul objet (même un $\text{Ab}$-enrichi / catégorie pré-additive), ou plus généralement un monoïde avec un élément zéro / élément absorbant et au moins un autre élément non nul (mais les anneaux différents de zéro sont bien comme un exemple courant et familier de ceux-ci).

Ce qui est vrai, c'est que, étant donné une catégorie sans morphismes, il existe une manière unique de lui adjoindre un objet zéro s'il n'en a pas déjà un: il a un morphisme unique vers et depuis chaque autre objet, et chaque composition impliquant ces morphismes. est zéro. Cette construction est l'adjoint gauche de l'inclusion de (catégories à zéro objet) dans (catégories à zéro morphisme), où dans les deux cas les morphismes sont des foncteurs qui conservent zéro morphismes.

De plus, si une catégorie avec zéro morphisme a un objet initial ou terminal, cet objet est automatiquement un objet zéro, et un foncteur entre deux catégories-avec-zéro-objets qui préserve zéro morphisme préserve automatiquement zéro objet. Je vais un peu plus en détail dans ce billet de blog .