Une fonction continue avec une dérivée supérieure de Dini supérieure à 0 implique que la fonction augmente

Aug 17 2020

Laisser $f$ être continu sur $[a,b]$ avec $\bar D f \geq 0$ (Dérivé supérieur de Dini de $f$) sur $(a,b)$. Montre CA$f$ augmente $[a,b]$. Astuce: montrez que c'est vrai pour$g$ avec $\bar D g \geq \epsilon > 0$ sur $[a,b]$. Appliquer ceci à la fonction$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

C'est la question 19 du chapitre 6.2 de Royden-Fitzpatrick Analysis 4e édition.

Mon approche est la suivante

  1. $g$ est continue car c'est la combinaison linéaire de 2 fonctions continues.
  2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ ce qui signifie $g$ augmente strictement sur $(a,b)$.
  3. $f = g - \epsilon x$ et $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ implique $f$ augmente (il ne diminue pas) sur $(a,b)$.

Est-ce que ça fait du sens? Merci pour toute aide. La question est également liée à la fonction continue sur$[a, b]$ avec des dérivées supérieures et inférieures bornées sur $(a, b)$ est Lipschitz.

Réponses

2 Matematleta Aug 17 2020 at 07:27

Comment sais-tu ça $2$tient? En fait, c'est l'essentiel de la preuve, à moins que je ne me trompe sur votre question, vous devez faire un peu de travail. (Dessiner une image aidera!) Supposons d'abord que$\bar D f >0$ sur $(a,b)$. S'il y a$a<c<d<b$ tel que $f(c)>f(d)$ alors nous pouvons choisir $f(c)>\mu>f(d)$. Laisser$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ et considérer $\xi=\sup S.$ Notez que $c<\xi<d$. Prenez une séquence croissante$(t_n)\subseteq (c,d)$ tel que $t_n\to \xi.$ Ensuite, $f(t_n)\to f(\xi)$. Si$f(\xi)\neq \mu$ alors il y a un $\mu<\alpha<f(\xi)$. Continuité de$f$ implique maintenant qu'il y a un intervalle $I=(\xi,\xi+\delta)$ tel que $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Mais cela contredit la définition de$\xi.$ Donc, $f(\xi)= \mu.$

Nous avons montré que pour chaque $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, et nous concluons que $ D^+ f(\xi)\le 0$, ce qui est une contradiction. Ainsi, l'affirmation est vraie pour l'inégalité stricte et$now$ nous définissons $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Il s'ensuit que$\bar D g_{\epsilon} >0$ sur $(a,b)$ alors $g_{\epsilon}$ n'y est pas décroissante, et comme $\epsilon$ est arbitraire, $f$ est également non décroissante.