Une question binomiale simple mais délicate [dupliquer]

Question

Quel est le nombre de termes différents dans l'expansion de $(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$?

Je sais comment résoudre ce genre de problème.

D'abord, j'arrangerais le terme en une expression binomiale. L'expansion aura$(n+1)$ termes différents.

Mais comment puis-je l'organiser en une expression binomiale?

Answer 1

Indice:

$$x+\dfrac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

$$\therefore \Big(x+\dfrac{1}{x}+x^2+\dfrac{1}{x^2}\Big)^{15} = (t^2+t-2)^{15} $$

Considérez maintenant le précieux conseil de @ lulu: "Quel est le terme le plus élevé? Quel est le plus bas? Tous les termes intermédiaires ont-ils des coefficients différents de zéro?"

Answer 2

Voici comment je procéderais avec la question:

$(x+\frac{1}{x}+x^2+\frac{1}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1+x+x^3+x^4}{x^2})^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})(1+x+x^3+x^4)^{15}$ = $(\frac{1}{x^30})$(1 + ....... + x ^ 60)

Cette expression a 61 pouvoirs différents. La réponse devrait donc être 61. J'espère que cela aide!