Une question sur l'espace métrique défini sur$\mathbb{Q}$.
Envisager$\mathbb{Q}$Soit l'ensemble de tous les nombres rationnels. Défini$d(p,q)=|p-q| $. Alors, lesquelles des affirmations suivantes sont vraies ?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$est fermé.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$est fermé.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$est compacte.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$est compacte.
J'y pensais donc, où l'option 4. n'est pas vraie parce que ce n'est pas limité. Ainsi, non compact découle de l'illimité. Donc, si nous pouvons montrer qu'ici l'ensemble en 4. Et je pense que non 1. est fermé, puisque son complément est$\mathbb{Q}$union un peu ouvert dans$\mathbb{R}$.
Pour l'autre énoncé, nous pouvons utiliser les critères généraux selon lesquels "Un espace métrique est compact ssi il est complet et totalement borné". Mais j'ai besoin d'aide pour faire ça.
Réponses
Nous pouvons écrire 1. comme$\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$qui est un ensemble ouvert réel (les intervalles ouverts sont ouverts) intersecté par$\Bbb Q$, donc cet ensemble est ouvert dans$\Bbb Q$. Il est également fermé en$\Bbb Q$car on peut aussi l'écrire$\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, qui est fermé pour des raisons similaires.
2 est fermé tel qu'on peut l'écrire ainsi$\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$et comme son élément$2$n'en est pas un point intérieur, il n'est pas ouvert.
L'ensemble sous 3 est exactement le même que sous 2 donc est effectivement fermé, comme nous l'avons vu, donc il pourrait être compact, car il est également borné. Mais en fait ce n'est pas le cas, car nous pouvons choisir n'importe quel irrationnel$p$"dans" l'ensemble (disons$\sqrt{3}$fera) et trouver une séquence de rationnels$q_n$dans l'ensemble qui converge vers$p$ dans les réels (cela peut toujours être fait). Mais alors la séquence$(q_n)_n$est Cauchy (c'est convergent dans les réels après tout) mais pas convergent dans$\Bbb Q$(car le seul point vers lequel il pourrait converger ne se trouve pas dans l'ensemble). L'ensemble n'est donc pas compact. Une raison plus profonde pour laquelle il n'est pas compact (que vous n'avez probablement pas encore couverte) est qu'un ensemble dénombrable compact dans un espace métrique doit avoir un point isolé, et cet ensemble n'en a pas. Mais la non-complétude (ou le fait connexe que nous avons une séquence sans sous-séquence convergente) peut être utilisée pour réfuter la compacité à un niveau plus élémentaire.
Pour 4, dans tous les espaces métriques on sait que "$A$compact$\implies$ $A$fermé et délimité; Heine-Borel est l' implication inverse qui tient dans des sous-ensembles de$\Bbb R^n$dans la métrique euclidienne. La "force" de celui-ci est de prouver rapidement sa compacité. Mais l'implication toujours valide peut être utilisée pour réfuter facilement la compacité, et 4 en est un exemple : non borné donc non compact est une déduction valide dans tout espace métrique.
Un ensemble$A$dans un espace métrique est compact ssi chaque séquence dans$A$a une sous-suite convergente dont la limite appartient à$A$. La séquence$\{1,2,3,..\}$est une suite dans l'ensemble donné qui n'a pas de sous-suite convergente donc l'ensemble en 4) n'est pas compact.
Alternativement, vous pouvez utiliser le fait que$\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$est une couverture ouverte de l'ensemble sans sous-couverture finie.