Une somme de $n$ carrés exprimés comme la somme de $n/2$ des carrés?
La réponse au cas particulier où les carrés sont des triples de Pythagore est oui. Les triplets de Pythagore sont le cas du plus bas$n$, à savoir $2$. Deux triplets de Pythagore peuvent être combinés pour former une somme de$4$ carrés comme dans $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. En combinant (en ajoutant) des triplets de Pythagore, nous pouvons faire une somme de carrés avec arbitraire$n$.
Question: Que se passe-t-il dans le cas général lorsque les paires de carrés concernées ne sont pas des triplets de Pythagore ou lorsque toutes les paires ne sont pas pythagoriciennes?
Réponses
La réponse est oui pour (même)$n \geq 8$et non pour (même)$n \leq 7$.
Si $n \geq 8$ puis la somme de votre $n$carrés est la somme de quatre carrés par le théorème des quatre carrés de Lagrange. Maintenant si$n/2$ est supérieur à 4, vous pouvez compléter votre somme en ajoutant suffisamment de termes égaux à $0^2$.
Pour $4 \leq n \leq 7$ Notez que $7$ peut être écrit comme la somme de $n$ carrés mais ne peut pas être écrit comme la somme de $n/2$ carrés.
Pour $2 \leq n \leq 3$ Notez que $5$ est la somme de $n$ carrés mais pas la somme de $n/2$ carrés.
D'après le théorème des quatre carrés de Lagrange, nous avons que chaque nombre naturel peut être exprimé comme la somme de quatre carrés parfaits. Parce qu'on peut toujours ajouter$0^2$ sans changer la somme, cela signifie que chaque nombre naturel peut être écrit comme la somme de $n$ carrés pour tout $n\geq4$.
Votre problème demande si cela est donné $M$ est la somme de $n$ carrés, peut-il être écrit comme la somme de $\frac{n}{2}$carrés. Comme cela nécessite que$n$ être pair, nous avons quatre cas:
Cas 1: $n=2$
Dans ce cas, étant donné que $M$ est la somme de deux carrés, ce n'est que la somme d'un carré si nous avons un triple de Pythagore.
Cas 2: $n=4$
Dans ce cas, $M$peut être n'importe quel nombre naturel. La question demande si un nombre naturel générique peut être écrit comme la somme de 2 carrés. La réponse à cette question vient du théorème de la somme des deux carrés, crédité à Euler, et dit qu'un nombre peut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si sa factorisation première ne contient pas un nombre premier qui est congruent$-1\mod4$ élevé à une puissance étrange.
Cas 3: $n=6$
Dans ce cas, M peut être n'importe quel nombre naturel. La question demande si un nombre naturel générique peut être écrit comme la somme de 3 carrés. D'après le théorème des trois carrés de Legendre, la réponse est que la plupart des nombres naturels, mais pas tous, peuvent être écrits comme la somme de trois carrés. Plus précisément, tous les nombres naturels sauf ceux apparaissant danshttps://oeis.org/A004215 peut être écrit comme la somme de trois carrés
Cas 4: $n\geq8$
Dans ce cas, chaque nombre naturel peut être écrit comme la somme de $\frac{n}{2}$ carrés, et donc la réponse est trivialement oui.
Pour les cas 3 et 4, nous avons une marge de manœuvre suffisante pour choisir $n$ carrés que nous pouvons choisir une rupture qui n'inclut aucun triplet de Pythagore
Je ne sais pas si j'ai bien compris la question, car si c'est ce que vous voulez vraiment dire, il n'est pas trop difficile de trouver des contre-exemples.
Mon interprétation: Étant donné une collection de $n$ entiers positifs, $\{ a_1, ..., a_n \}$, il est possible de trouver une collection de $n/2$ entiers positifs, disons, $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ tel que $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Si c'est ce que vous voulez dire, considérez d'abord $n$être un entier impair et nous avons terminé. Car$n/2$ n'est pas un entier, la déclaration est évidemment fausse.
Supposons maintenant $n$est seulement autorisé à être pair. Considérez, dites$n = 2$ et $a_i = 1$ pour les deux $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, pas un carré parfait, et est donc un contre-exemple à l'énoncé.
Deux triplets de Pythagore peuvent être représentés comme la somme de quatre carrés ou la somme de deux carrés.
Exemples: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
ou, à partir de l'exemple que j'ai montré dans ma première version de cette réponse: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
où $8$ les sommes de carrés sont exprimées comme $4$. J'ai donné l'exemple de$4$ valeurs égales mais tout nombre pair de toutes combinaisons de $C$-les valeurs peuvent être réduites à la moitié de ce nombre.
Un autre exemple est ici où $10$ les sommes carrées sont égales à $5$ sommes $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
Pour votre dernière question, si les carrés ne sont pas obligatoires, il existe également des solutions infinies: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ ou $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$