Unicité d'une équation fonctionnelle?

Question

TL et DR. J'essaye de comprendre pourquoi le paramètre$\beta$ dans la mesure de Gibbs est l'inverse de la température $1/T$ dans un contexte thermique dynamique.

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Dans l'espace des bijections lisses (difféomorphismes) de $(0,\infty)$ à $(0,\infty)$, la fonction

$$ x \mapsto \frac{1}{x}$$

satisfait l'équation fonctionnelle

$$ \frac{\phi(x) + \phi(y)}{2} = \phi(\frac{2xy}{x+y}).$$

En effet,

$$ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} = \frac{x+y}{2xy}.$$

Question

Est-ce la seule solution?

Tentatives et motivation

J'ai utilisé certaines techniques ... comme rechercher des limites, trouver des valeurs spéciales ou différencier $x\phi(x)$.. etc. Cette question vient de la mécanique statistique. Cela m'aidera à comprendre, après avoir accepté que la mesure de Gibbs

$$ \mu(s) \sim exp(-\beta s) $$

est naturel, pourquoi le paramètre $\beta$ introduite à partir de la méthode du multiplicateur de Lagrange correspond naturellement à l'inverse de la température $\frac{1}{T}$ dans un contexte thermique dynamique.

Answer 1

Conseils pour trouver $\phi$: Différencier par rapport $x$ obtenir $\frac 1 2 \phi'(x)=\phi '(\frac {2xy} {x+y}) \frac {2y^{2}} {(x+y)^{2}}$. Maintenant, mettez$x=1$ obtenir $ \phi '(\frac {2y} {1+y})$. Mettre$t=\frac {2y} {1+y}$ et vous obtiendrez $\phi'(t)$ pour chaque $t \in (0,1)$.

Traiter $\phi'(1)$ comme toute constante donnée $c$, alors tu auras

$$t^2 \phi'(t) = c.$$

Par théorème de la valeur moyenne, $\phi(t) = c/t$ sont les seules solutions.