Utilisation de la règle de Leibniz pour différencier sous le signe intégral des intégrales de ligne

Question

Existe-t-il une référence qui prouve la validité de la différenciation sous l'intégrale de droite pour prouver les formules intégrales de Cauchy

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

Vous pouvez utiliser le théorème 2.27 du texte d'analyse réelle de Folland. Une version simplifiée de ce théorème pour les nombres complexes dirait que si$C,D$ sont compacts, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ est analytique pour tous $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ est continue dans les deux arguments, alors pour tous $w\in D$ il s'ensuit que $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

La raison principale pour laquelle cela fonctionne est que $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland utilise le théorème de convergence dominée pour garantir les travaux ci-dessus. Dans notre cas comme$C\times D$ est compact par le théorème de Tychonoff, et $\partial h/\partial w (z,w)$ est continu sur $C\times D$, puis $|\partial h/\partial w (z,w)|$ est limité au-dessus par une constante, disons $M$. Depuis$C$ a une mesure finie (compacte) il s'ensuit que $M\in L^1(C)$ nous sommes donc libres d'utiliser les convergences dominées pour justifier la différenciation sous le signe intégral.

Dans ton cas, $C$est un cercle, qui est compact. Maintenant pour$f(u)/(u-w)$, vous pourriez dire que ce n'est pas défini sur un ensemble compact, mais si nous limitons les valeurs de $w$ à un petit disque fermé et les valeurs de $u$ au cercle, alors notre fonction est définie sur un domaine de la forme $C\times D$ où $C,D$ sont compacts.

Answer 2

Vous pouvez trouver une preuve approfondie ici

Voici une autre façon: en utilisant des faits simples sur les séries de puissance, nous avons, fixant un entier $n,$ et l'écriture $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ à l'intérieur $C,$ nous avons

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Il s'ensuit que $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Mais $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ Le résultat suit.