Utilité de la géométrie différentielle
Je suis récemment tombé sur ces livres :
- Géométrie différentielle et groupes de Lie : une perspective computationnelle
- Géométrie différentielle et groupes de Lie : un deuxième cours
Leur sujet m'intrigue vraiment, car j'aime beaucoup la topologie/géométrie/analyse, mais je n'avais pas prévu de les poursuivre car je veux aussi travailler dans un domaine avec une application très concrète. Cependant, je suis sceptique. À un moment donné, j'ai pensé que l'analyse des données topologiques (TDA) était le mariage parfait de mes intérêts, mais j'ai trouvé très peu de preuves que ce domaine était réellement utilisé en informatique, encore moins dans des contextes industriels ou autrement plus «pratiques». Il semble que TDA permette aux mathématiciens de se sentir plus pertinents pour le monde de la science des données, mais je ne suis pas convaincu que cela les rend ainsi (n'hésitez pas à me contredire si vous pensez que je me trompe sur ce point, mais notez que je veux une réponse concrète cas d'utilisation, pas un argument abstrait sur sa pertinence). J'ai des histoires similaires sur la théorie du codage, certains aspects de la théorie des ensembles, etc. Ils peuvent avoir une pertinence théorique, mais existe-t-il une situation où, dans le processus de développement de logiciels, on pourrait avoir besoin de consulter ces domaines ? Je n'en connais aucun.
Alors maintenant ma question : existe-t-il un domaine pratique de l'informatique qui utilise de manière avancée la géométrie différentielle ? L'imagerie médicale, d'autres imageries, l'infographie, la réalité virtuelle et d'autres domaines viennent à l'esprit comme domaines d'application potentiels. Dans mon expérience (certes limitée), cependant, ces domaines semblent utiliser la géométrie 3D de base, l'algèbre linéaire numérique et parfois l'analyse numérique des EDP. Ce sont tous de très beaux sujets, mais ils ne nécessitent rien d'aussi abstrait que la géométrie différentielle.
Merci d'avance.
Réponses
Je vois principalement la géométrie différentielle appliquée à l'informatique dans les sous-domaines appliqués suivants :
- Infographie / Traitement géométrique
- Apprentissage automatique / Traitement du signal
Pour le traitement Infographie/Géométrie, il est recommandé de rechercher :
- Cours de géométrie différentielle discrète par Keenan Crane
- Géométrie différentielle discrète pour la liste de lecture CS
- Compilation d'articles sur la géométrie différentielle discrète
Pour l'apprentissage automatique/le traitement du signal, nous vous recommandons de rechercher :
- Apprentissage multiple
- Géométrie des informations
- Traitement non linéaire du signal
- Apprentissage profond géométrique
Vérifiez également cette réponse dans Math exchange, et cette conférence Differential Geometry meet Deep Learning
Au fait, la géométrie différentielle fonctionnelle est un excellent livre.
Si vous avez trouvé la structure et l'interprétation des programmes informatiques intéressantes, vous aimerez peut-être la géométrie différentielle fonctionnelle (elle vient des mêmes auteurs) .
La géométrie différentielle est d'une simplicité trompeuse. Il est étonnamment facile d'obtenir la bonne réponse avec une manipulation de symboles peu claire et informelle. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des programmes informatiques pour communiquer une compréhension précise des calculs en géométrie différentielle. Exprimer les méthodes de géométrie différentielle dans un langage informatique les oblige à être sans ambiguïté et efficaces en termes de calcul. La tâche de formuler une méthode sous la forme d'un programme exécutable par ordinateur et de déboguer ce programme est un exercice puissant dans le processus d'apprentissage. Aussi, une fois formalisée de manière procédurale, une idée mathématique devient un outil directement utilisable pour calculer des résultats.
Tiré de Sussman, Wisdom: Functional Differential Geometry
De nos jours, chaque domaine qui porte le nom de "différentiel" est en quelque sorte appliqué dans les réseaux de neurones. Pour la géométrie différentielle par exemple, vous pouvez penser au rendu différentiel en infographie.
En ce moment, je travaille sur l'article "Une théorie différentielle du transfert radiatif" de Zhang et al.