Valeurs de $a$ tel que $x^5-x-a$ a un facteur quadratique

Question

Je voudrais trouver tous les entiers $a$ tel que $x^5-x-a$ a un facteur quadratique dans $\mathbb{Z}[x]$.

Ma tentative

Laisser $x^5-x-a=(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)$, de sorte que nous ayons les éléments suivants:

$$\begin{array}{rcl} b+d&=&0\\ e+bd+c&=&0\\ f+be+cd&=&0\\ bf+ce&=&-1\\ cf&=&-a \end{array}$$

Par conséquent:

$$\begin{array}{rcccl} d&=&-b\\ e&=&-bd-c&=&b^2-c\\ f&=&-be-cd&=&-b^3+2bc \end{array}$$

et nous avons:

$$1=-bf-ce=b^4-3b^2c+c^2,$$

pour que:

$$(2c-3b^2)^2=5b^4+4.$$

Question

Comment puis-je trouver toutes les valeurs de $n$ tel que $5n^4+4$ est un carré parfait?

Ma tentative

Si $m^2=5n^4+4$, puis $m^2-5n^4=4$.

Si $m=2m_*$, puis $n$ est égal, de sorte que $n=2n_*$, et nous avons l'équation $m_*^2-20n_*^4=1$. Par l'équation de Pell, puisque$(a,b)=(9,2)$ est la solution la moins non triviale de $a^2-20b^2=1$, alors la solution générale a la forme $(a_n,b_n)$ où $a_n+b_n\sqrt{20}=(9+2\sqrt{20})^n$, mais je ne sais pas comment connaître les valeurs de $n$ faire $b_n$ un carré.

Answer 1

Version courte: en $w^2 - 5 v^2 = 4,$ les nombres $v$ sont des nombres de Fibonacci, dont le plus grand carré parfait est $144$

Comme vous pouvez le voir, mes nombres "v" sont des nombres de Fibonacci alternatifs, tandis que "w" sont Lucas. Je vais essayer de trouver une référence, on sait que le plus grand nombre carré de Fibonacci est 144. Votre plus grand$n$ est donc $12,$ où votre $m=322$

COHN 1963

Umm. Voici un topographe Conway pour la forme quadratique$x^2 - 5 y^2.$ Ceci constitue une preuve que toutes les solutions de $x^2 - 5 y^2 = 4$ sont générés par des paires initiales $$ (2,0) , (3,1) , ( 7,3), (18,8), (47,21), 123,55), (322,144), (843, 377) $$ avec récursions $$ x_{n+6} = 18 x_{n+3} - x_n $$ $$ y_{n+6} = 18 y_{n+3} - y_n $$

Ceux-ci sont de Cayley-Hamilton pour $$ \left( \begin{array}{cc} 9&20 \\ 4&9 \end{array} \right) $$

Un peu plus de travail montre que nous pouvons interpoler, c'est-à-dire $$ x_{n+2} = 3 x_{n+1} - x_n $$ $$ y_{n+2} = 3 y_{n+1} - y_n $$

Voyons voir, les irrationnels dans la description de Binet des nombres alternatifs de Fibonacci sont $$ \frac{3 \pm \sqrt 5}{2}, $$ tandis que $$ \left(\frac{3 \pm \sqrt 5}{2} \right)^3 = 9 \pm 4 \sqrt 5 $$ où $9 \pm 4 \sqrt 5$ sont les nombres de Binet de $\lambda^2 - 18 \lambda + 1 =0$

REsources sur le topographe de Conway

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf (Conway)

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf (Couvoir)

http://bookstore.ams.org/mbk-105/ (Weissman)

http://www.springer.com/us/book/9780387955872 (Encore bien)

Générer des solutions d'équation diophantienne quadratique

diagrammes

Une autre équation diophantienne quadratique: comment procéder?

Comment trouver des solutions $x^2-3y^2=-2$?

Générer des solutions d'équation diophantienne quadratique

Pourquoi l'Alpertron ne peut-il pas résoudre cette équation de type Pell?

Trouver toutes les solutions de l'équation de type Pell $x^2-5y^2 = -4$

Si $(m,n)\in\mathbb Z_+^2$ satisfait $3m^2+m = 4n^2+n$ puis $(m-n)$ est un carré parfait.

comment résoudre la forme binaire $ax^2+bxy+cy^2=m$, pour entier et rationnel $ (x,y)$ :::: 69 55

Trouver toutes les solutions entières de l'équation $|5x^2 - y^2| = 4$

Entier positif $n$ tel que $2n+1$ , $3n+1$ sont tous les deux des carrés parfaits

Cartes des vecteurs primitifs et de la rivière Conway, est-ce que quelqu'un a construit cela dans SAGE?

Une infinité de systèmes de $23$ entiers consécutifs

Résolvez l'équation suivante pour x et y: <1, -1, -1>

Trouver des entiers de la forme $3x^2 + xy - 5y^2$ où $x$ et $y$ sont des entiers, utilisant un diagramme via une progression arithmétique

Petite représentation intégrale comme $x^2-2y^2$ dans l'équation de Pell

Résoudre l'équation $ x^2-7y^2=-3 $ sur des entiers

Solutions aux équations diophantiennes

Comment prouver que les racines de cette équation sont des entiers?

Est-ce que l'équation de type Pell $X^2-dY^2=k$ avoir une récursion simple comme $X^2-dY^2=1$?

http://math.stackexchange.com/questions/1737385/if-d1-is-a-squarefree-integer-show-that-x2-dy2-c-gives-some-bounds-i/1737824#1737824 "des graines"

Trouver tous les nombres naturels $n$ tel que $21n^2-20$ est un carré parfait.

Y a-t-il une preuve simple que si $(b-a)(b+a) = ab - 1$, puis $a, b$doit être des nombres de Fibonacci? 1,1, -1; 1,11

Pour trouver toutes les solutions intégrales de $3x^2 - 4y^2 = 11$

Comment pouvons-nous résoudre des équations de type pell?

Équation diophantienne $x^2 + xy − 3y^2 = 17$ <1,1, -3>

jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental
  Automorphism matrix:  
    9   20
    4   9
  Automorphism backwards:  
    9   -20
    -4   9

  9^2 - 5 4^2 = 1

 w^2 - 5 v^2 = 4 =  2^2

Thu Nov 19 10:06:08 PST 2020

w:  2  v:  0  SEED   KEEP +- 
w:  3  v:  1  SEED   KEEP +- 
w:  7  v:  3  SEED   BACK ONE STEP  3 ,  -1
w:  18  v:  8  SEED   BACK ONE STEP  2 ,  0
w:  47  v:  21
w:  123  v:  55
w:  322  v:  144
w:  843  v:  377
w:  2207  v:  987
w:  5778  v:  2584
w:  15127  v:  6765
w:  39603  v:  17711
w:  103682  v:  46368
w:  271443  v:  121393
w:  710647  v:  317811
w:  1860498  v:  832040
w:  4870847  v:  2178309
w:  12752043  v:  5702887

Thu Nov 19 10:06:37 PST 2020

 w^2 - 5 v^2 = 4 =  2^2

Answer 2

Il s'agit essentiellement d'une courbe elliptique.

Il peut y avoir des méthodes élémentaires, mais il existe également des systèmes d'algèbre informatique qui peuvent (dans de nombreux cas) résoudre ce genre d'équations diophantiennes.

Nous pouvons réécrire l'équation comme suit: $m^2n^2 = 5n^6 + 4n^2$.

Si nous écrivons $y = 5mn$ et $x = 5n^2$, alors ça devient $y^2 = x^3 + 20x$.

Nous utilisons maintenant Sage pour trouver tous les points entiers sur cette courbe. Collez les codes suivants dans ce site et appuyez sur «Évaluer».

EllipticCurve([20, 0]).integral_points()

Le résultat:

[(0 : 0 : 1), (4 : 12 : 1), (5 : 15 : 1), (720 : 19320 : 1)]

On voit que les valeurs correspondantes de $(m, n)$ sont $(2,0), (3,1), (322,12)$, respectivement (les valeurs négatives ne sont pas répertoriées).

Answer 3

Une autre façon est de faire une longue division de $x ^ 5-x-a$ par le trinôme arbitraire $x ^ 2 + bx + c$et mettez le reste à zéro. Cela donne le reste$$(c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1) x + (cb ^ 3-2bc ^ 2-a) = 0$$ d'où nous avons $a = cb (b ^ 2-2c)$ et $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$.

Cela signifie que pour chaque solution de $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ nous avons une valeur correspondante $a = cb (b ^ 2-2c)$.

Quelques solutions de $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ sont $(b,c)=(1,3),(0,1),(12,55),(12,377)$.

EXEMPLES.-$(b,c)=(1,3)$ donne $a=-15$ et nous avons $$x^5-x+15=(x^2+x+3)(x^3-x^2-2x+5)$$ $(b,c)=(12,377)$ donne $a=-2759640$ et nous avons $$x^5-x+2759640=(x^2+12x+377)(x^3-12x^2-233x+7320)$$