variétés de faible dimension en collant la limite d'une bille
Rappelez-vous qu'une façon de dessiner des variétés à 2 fermées est de prendre un disque $D^2$, prenez une décomposition cellulaire de $\partial D^2$, associez les sommets de cette décomposition cellulaire afin que l'appariement préserve les arêtes, puis prenez $D$ avec ce quotient de la frontière.
Nous pouvons également le faire dans d'autres dimensions, par exemple en dimension 3, chaque variété 3 fermée peut être obtenue par une procédure similaire où nous prenons $B^3$, prenez une décomposition cellulaire de $\partial B^3$, associez les sommets de cette décomposition cellulaire afin que l'appariement préserve les arêtes et les faces, puis regardez le quotient de $B^3$ par ce jumelage.
Threlfall et Seifert l'ont fait pour la sphère d'homologie de Poincaré (voir par exemple ici - qui contient également une description différente due à Kreines). En fait, ils prennent la cellulation de$\partial B^3$être le dodécaèdre. Existe-t-il une liste complète (vraisemblablement assez courte) de toutes les 3-variétés obtenues de telle manière que la cellulation est un solide platonicien?$T^3$, $\mathbb{R}P^3$, et l'espace Seifert-Weber sont d'autres exemples qui me viennent à l'esprit. Je suppose que la sphère d'homologie de Poincaré est peut-être la seule sphère d'homologie de cette liste. Plus généralement, j'aimerais parcourir une liste des 3 variétés qui se produisent de cette manière en utilisant des cellulations simples.
Cela peut également être fait de la même manière en dimension 4 pour produire tous les collecteurs 4 fermés lisses. Y a-t-il de belles photos / exemples de cette réalisation quelque part? J'adorerais voir de telles photos de$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
Réponses
Ces 3-variétés orientables fermées obtenues par collage des faces des solides platoniques ont été classées par Everitt .
C'est pour les polyèdres réguliers avec des angles dièdres égaux, et le collage se fait géométriquement. Cependant, il est également possible de faire le collage topologiquement, et pour ce problème, je n'ai qu'une réponse partielle. Il existe 3 collecteurs 3 orientables fermés obtenus par collage des faces du tétraèdre. Elles sont$S^3$, $L(4,1)$, et $L(5,2)$. Des collages explicites peuvent être vus dans la figure 2 de cet article de Jaco et Rubinstein .
Il existe 17 collecteurs 3 orientables fermés obtenus par collage des faces de l'octaèdre, dont 13 sont premiers. Ils sont listés dans la proposition 4.2 de cet article par Heard, Pervova et Petronio .
Vraisemblablement, les 3-variétés orientables fermées obtenues à partir du cube ont été énumérées, mais je ne connais pas de référence. Ils incluent$\mathbb{R}P^3$, les 3 tores et au moins 2 des autres 3 collecteurs euclidiens orientables fermés. J'imagine qu'il y a beaucoup de 3-variétés obtenues à partir du dodécaèdre et de l'icosaèdre, mais je doute que quiconque les ait toutes énumérées.
Quant aux 4-variétés, je laisserai cela à quelqu'un d'autre pour répondre, sauf pour noter qu'il n'y a pas de 4-variétés obtenues à partir d'un seul pentachore (4-simplex), car il a 5 tétraèdres dans sa frontière et cela provoque une parité publier.