Visualiser le schéma $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$

Question

Laisser $k$ être un champ algébriquement clos (pour moi j'utilise $k=\mathbb C$). je le sais$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ consiste simplement en l'idéal premier $(x)$. En effet, tout idéal$\mathfrak p$ de $k[x]/(x^2)$ est un idéal de $k[x]$ tel que $(x^2) \subset \mathfrak p$.

Si nous considérons maintenant $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$, maintenant les principaux idéaux de $k[x,y]$ sont $(0)$, $(x-a,y-b)$ pour $a,b \in k$ et polynômes irréductibles $f(x,y)$ générateur $(f(x,y))$.

Clairement $(y^2)\not\subset (0)$. Quant aux polynômes irréductibles, nous avons$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$, donc je pense qu'il est juste de dire que les idéaux en bijection avec ceux-ci sont de la forme $(a+f(x)y+g(x))$ où $a,b \in k$ et $f,g$irréductible. je suppose$(x-a,y-b)$ seraient également des idéaux primordiaux de l'anneau de quotient puisque leur quotient donne un domaine intégral.

Maintenant, je suis intéressé à comprendre la généralisation $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. En particulier:

• Peut-on classer tous les éléments du spectre de cet anneau, pour $n \geq 1$?
• Pouvons-nous visualiser ce schéma, et at-il été étudié dans un certain contexte dans la littérature?

Answer 1

Laisser $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $

ensuite $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$, la ligne affine sur l'anneau $R$. Observez que depuis$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$, est un idéal maximal nilpotent de $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$, à savoir que c'est un gros point au sens de Mumford.

Si $p\in \mathbb A^1_R$, considérez que c'est l'image dans $\operatorname {Spec} R$ sous le morphisme de la structure $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. Donc$\pi(p)=m$.

Depuis que nous avons $R/m \cong k $, nous voyons une correspondance one-one $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$

Ainsi comme $\textbf{sets}$ vous avez $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $

Mais bien sûr, les poulies de structure sont différentes. $\mathbb A^1_R$ a nilpotents dans la gerbe de structure.