सरल प्रमाण

एक सम संख्या और एक सम संख्या का योग एक सम संख्या बनाता है।

एक विषम संख्या और एक विषम संख्या का योग एक विषम संख्या बनाता है।

एक विषम प्लस एक भी एक विषम बनाता है।

आपको शायद प्राथमिक विद्यालय में वह सरल नियम सिखाया गया था। आई वास। और यह सच होता दिख रहा है। कुछ भिन्न संख्याओं के साथ इसे कुछ बार आजमाएँ, और यह हमेशा काम करता है। (यदि यह काम नहीं करता है, तो अपने काम की जांच करें। अगर यह अभी भी काम नहीं करता है, तो प्रकाशित करें।)

लेकिन क्या यह सभी नंबरों के लिए काम करता है? कितना भी बड़ा क्यों न हो?

आमतौर पर स्कूल में पढ़ाए जाने वाले गणित और गणितज्ञों द्वारा किए जाने वाले गणित के बीच का अंतर यह है:

1. स्कूल में हमें इस प्रकार के नियम सिखाए जाते हैं ताकि हम 'गणित' करते समय उनका उपयोग कर सकें।
2. गणितज्ञ यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि नियम क्या हैं, और यह दिखाने के लिए कि वे नियम सही क्यों हैं (या नहीं हैं) सबसे संक्षिप्त, सुरुचिपूर्ण तर्क प्रस्तुत करते हैं।

जैसा कि पॉल लॉकहार्ट ने अपने निबंध ए मैथमेटिशियन्स लैमेंट में दृढ़ता से (और विनोदपूर्वक) वर्णन किया है, सत्य को खोजने की कला सच्चा गणित और बहुत मज़ा दोनों है। और यह औपचारिक, कठोर प्रमाण होना जरूरी नहीं है जो कभी-कभी स्कूल में पढ़ाया जाता है। यह सिर्फ पैटर्न की तलाश करने और एक सुंदर तर्क देने के बारे में है।

युवा शिक्षार्थियों को विषम और सम संख्याओं के योग के बारे में नियम बताने के बजाय, क्या होगा यदि हम पहले उनसे यह पता लगाने के लिए कहें कि नियम क्या हो सकते हैं, और फिर उनसे यह स्पष्टीकरण देने के लिए कहें कि यह नियम क्यों है?

यहाँ उस तरह की सोच का एक उदाहरण दिया गया है जो एक 'प्रमाण' में जा सकती है, जो कई संभावित समाधानों में से एक है:

सबसे पहले, आइए अमूर्त अंकों के साथ नहीं, बल्कि मूर्त वस्तुओं के साथ, इस मामले में वर्ग के साथ गिनें। यहाँ पाँच वर्ग हैं:

[कई मनमाने ढंग से रखे वर्गों की तस्वीर]

चूंकि एक सम संख्या का अर्थ है कि इसे दो से विभाजित किया जा सकता है, हम जानते हैं कि हम सम संख्या वाले वर्गों को समान लंबाई की दो पंक्तियों में व्यवस्थित कर सकते हैं, और अंत 'वर्ग' होगा:

दूसरी ओर, एक विषम संख्या में हमेशा एक 'रैग्ड' अंत होता है जहाँ पंक्तियाँ पंक्तिबद्ध नहीं होती हैं:

इन चित्रों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, अब हम देख सकते हैं कि हमारे नियम सत्य प्रतीत होते हैं। दो सम संख्याएँ, एक सिरे से दूसरे सिरे तक रखी हुई, सम संख्याएँ हैं।

एक विषम संख्या को फ़्लिप करने और दो टेढ़े-मेढ़े सिरों को एक साथ चिपकाने से, दो विषम संख्याओं के भी सिरे सम हो जाते हैं।

लेकिन एक विषम और एक सम, चाहे हम कैसे भी पलटें और घुमाएँ, हमें कभी भी अंत नहीं देता।

यह सच होगा चाहे हमारी संख्या कितनी भी लंबी क्यों न हो, क्योंकि जो मायने रखता है वह यह है कि क्या छोर टेढ़े-मेढ़े हैं या चौकोर हैं। (उन बिजली की बोल्ट वाली चीजों का मतलब मनमाना दूरी का सुझाव देना है ... कल्पना करें कि वहां हजारों वर्ग हैं।)

QED

क्या यह एक वैध गणितीय प्रमाण है? फर्क पड़ता है क्या? एक बच्चा, या बच्चों का एक समूह, जिन्होंने इस प्रकार के 'प्रमाणों' के बारे में सोचने के लिए समय बिताया है, उनमें गणित के बारे में एक समझ और शायद एक उत्साह विकसित हो रहा होगा, जो उन्हें कितनी भी रटंत कवायद से नहीं मिलेगी। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि वे "क्या करना है जब आप नहीं जानते कि क्या करना है" सीखना शुरू कर देंगे। यानी, आपके पास मौजूद समस्याओं के चरणों का पालन करने के बजाय, उन समस्याओं को हल करने का आत्मविश्वास, जिन्हें आपने पहले नहीं देखा है।