यूलर का स्थिरांक

"इ"। हम सभी "ई" के पार आ गए हैं। यह क्या है?

यह अंग्रेजी भाषा का 5वां अक्षर और दूसरा स्वर है। जब हम किसी को अपने दांत दिखाते हैं तो हम यही कहते हैं। लेकिन, गणितज्ञ इसे यूलर स्थिरांक के रूप में पहचानते हैं । अन्य महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक जैसे π , i, Φ , sqrt{2}, आदि के साथ खड़े होने पर, इस निरंतर, अपरिमेय संख्या का मान 2.718281828459045235…… है।

अधिकांश गणितीय स्थिरांक ज्यामितीय होते हैं। उदाहरण के लिए, π एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है, sqrt{2} एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है जिसके पैर एकता मापते हैं। लेकिन, "ई" एक स्थिरांक है जिसे ज्यामिति या किसी आकार से परिभाषित नहीं किया जाता है। यह विकास या परिवर्तन की दर पर आधारित है। पर कैसे?

आइए 17 वीं शताब्दी में वापस जाएं, जब जैकब बर्नोली चक्रवृद्धि ब्याज पर काम कर रहे थे, यानी आपके पैसे पर ब्याज प्राप्त कर रहे थे।

मान लीजिए, आप एक बैंक का हिस्सा हैं, एक बहुत ही उदार बैंक। मान लीजिए कि आपने बैंक को ₹1 दिया और बैंक प्रति वर्ष 100% ब्याज देता है। (वास्तव में एक बहुत ही उदार बैंक)। तो अब, साल के अंत में आपके पास ₹2 होंगे। तो, अगर आपको हर 6 महीने में 50% ब्याज मिलता है, तो क्या आपको वही राशि ₹2 मिलेगी? या उससे भी ज्यादा? या उससे कम? आइए गणना करें और देखें, क्या हम?

ठीक है, इससे पता चलता है कि यदि आप प्रति 6 महीने में 50% ब्याज लेते हैं, तो यह आपको 100% प्रति वर्ष के ब्याज से अधिक लाभ प्राप्त करने में मदद करेगा। अगर आप हर महीने 1/12वां ब्याज लेते हैं तो क्या होगा?

फिर, यह होगा,

यदि ब्याज का 1/52वां हिस्सा प्रति सप्ताह दिया जाता है, तो आपकी अंतिम राशि होगी,

हर दिन का 1/365वां ब्याज क्या है, तो साल के अंत में बैंक को ₹1 देने के बाद आपकी राशि कितनी होगी,

आप इसी तरह हर घंटे, हर मिनट, हर सेकंड या यहां तक ​​कि हर मिलीसेकंड में मिलने वाले पैसे की गणना कर सकते हैं!

तो, आप क्या देखते हैं? मान की गणना सामान्य सूत्र का उपयोग करके n वृद्धि के रूप में की जाती है

तो, आप देख सकते हैं कि जैसे-जैसे n का मान बढ़ता है, मान एक निश्चित मान के और करीब आ रहा है। यह "ई" का मूल्य है।

लेकिन, जैकब बर्नौली ने स्थिरांक के मान की गणना नहीं की। वह बस इतना जानता था कि इसका मान 2 और 3 के बीच कहीं होगा। यह यूलर ही था जिसने अंततः इस स्थिरांक की गणना की और साबित किया कि यह अपरिमेय था। उन्होंने मूल्य की गणना के लिए सूत्र का उपयोग किया, नहीं

लेकिन दूसरा सूत्र। उन्होंने निम्न सूत्र का प्रयोग किया।

यह एक निरंतर अंश है । आप कह सकते हैं कि जैसे यह हमेशा के लिए चलता है, इस भिन्न का एक पैटर्न है, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……तो, अगर यह हमेशा के लिए चलता है, तो, यह एक अपरिमेय अंश है। यदि यह समाप्त होता, तो यह तर्कसंगत होता क्योंकि आप इसे भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। इस प्रकार, यह सिद्ध करता है कि "e" एक अपरिमेय स्थिरांक है।

"ई" के मान की गणना करने के लिए, यूलर ने एक अलग सूत्र का उपयोग किया। वह है,

"ई", विकास की प्राकृतिक भाषा है, यह कलन की प्राकृतिक भाषा है। क्यों?

ऊपर दिया गया चित्र e^x का ग्राफ दिखाता है। अब, एक e^x ग्राफ की विशेषता यह है कि यदि आप ग्राफ पर कोई बिंदु लेते हैं, तो उस बिंदु का मान e^x होता है, उस बिंदु पर ग्रेडिएंट e^x होता है और उस बिंदु से ग्राफ के नीचे का क्षेत्र आगे -∞ भी e^x है। इस प्रकार, जब आप ई^एक्स को एकीकृत या अलग करते हैं, तो आपको ई^एक्स ही मिलता है। यह स्थिरांक "e", कलन में एक बहुत मजबूत उपकरण बनाता है।

यूलर के स्थिरांक "ई" को गणित में कुछ बड़े स्थिरांकों को एक सूत्र में एक साथ लाने के लिए भी जाना जाता है, जो कि -1 का मूल है, जो कि i, π, 1 और 0 है। इसे कई बार सबसे अधिक भी कहा जाता है। गणित में सुंदर समीकरण:

मैं आगामी लेख में इस समीकरण के बारे में और लिखूंगा।