pengantar

Kontrak forward adalah perjanjian antara dua rekanan untuk memperdagangkan aset tertentu, misalnya saham, pada waktu tertentu di masa depan T dan pada harga tertentu K . Pada saat ini t ≤ T , satu pihak setuju untuk membeli aset pada T dengan harga K , dan secara efektif memperpanjang kontrak. Pihak lawan setuju untuk menjual aset pada T dengan harga K , dan secara efektif mempersingkat kontrak. Harga K dikenal sebagai harga pengiriman dan waktu T dikenal sebagai jatuh tempo.

Penetapan harga kontrak ke depan

Misalkan Vₖ(t, T) adalah nilai long forward contract pada saham S pada waktu t dengan harga penyerahan K dan jatuh tempo T , dan misalkan S(t) adalah harga saham S pada waktu t , adalah mudah untuk melihat bahwa nilai kontrak berjangka pada saat jatuh tempo hanyalah fungsi pembayaran linier Vₖ(T, T) = S(T) — K .

Kami mendefinisikan harga forward F(t, T) pada waktu t menjadi harga pengiriman K sedemikian rupa sehingga Vₖ(t, T) = 0 , yaitu nilai kontrak forward adalah nol pada waktu t . Selain itu, menurut definisi, seseorang dapat membeli kontrak forward dengan harga penyerahan K = F(t, T) tanpa biaya di muka. Secara alami, F(T, T) = S(T) .

Pertimbangkan Vₖ(t, T) dan F(t, T) yang lebih umum pada t ≤ T . Misalkan r adalah bunga nol konstan dengan peracikan terus menerus dan menekan ketergantungan tingkat bunga pada waktu, untuk kontrak berjangka pada saham tertentu S yang tidak membayar dividen, kita mengklaim bahwa F(t, T) = S(t)eʳ ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Cara kami membuktikan pernyataan di atas adalah melalui teorema fundamental harga aset , yang menyatakan tidak pernah ada peluang untuk arbitrase di pasar yang efisien. Dengan kata lain, seseorang tidak bisa begitu saja memulai dengan portofolio kosong dan berakhir dengan portofolio bernilai positif hanya dengan melakukan transaksi di pasar.

Pertimbangkan skenario di mana F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , pada waktu t , seorang trader dengan portofolio kosong dapat melakukan long kontrak forward, segera menjual saham S pada harga pasar saat ini S( t) , dan menyetor uang pada tingkat bunga r .

Pada waktu T , pedagang harus membeli saham pada harga pengiriman yang telah disepakati sebelumnya F(t, T) per kontrak berjangka. Pedagang juga akan menerima uang yang disetor sekarang berjumlah S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Karena F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , trader berakhir dengan portofolio S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ — F(t, T) > 0 , yang bertentangan dengan permulaan kita asumsi “ tidak ada arbitrase ”.

Sebaliknya, misalkan F(t, T) > S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , pada waktu t, seorang trader dapat melakukan short kontrak forward, meminjam S(t) jumlah uang pada tingkat bunga r untuk membeli dan menahan saham S pada harga pasar saat ini S(t) .

Pada saat T , pedagang akan menjual saham pada F(t, T) dan membayar kembali pinjaman dengan bunga akrual sebesar S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Sekali lagi, trader mendapatkan portofolio positif F(t, T) — S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ > 0 .

Dalam contoh di atas, kami berasumsi bahwa suku bunga untuk menyimpan uang dan meminjam uang adalah sama. Pada kenyataannya, biasanya terdapat selisih antara suku bunga pinjaman dan suku bunga pinjaman. Biarkan r₁ menjadi suku bunga pinjaman dan misalkan r₂ menjadi suku bunga pinjaman ( r₁ < r₂ menghasilkan bid-ask spread). Kita sekarang dapat menyusun batas bawah dan atas untuk harga forward S(t)eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ ≤ F(t, T) ≤ S(t)eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Buktinya mengikuti logika yang sama seperti sebelumnya. Perhatikan bahwa jika pedagang membeli kontrak dan segera menjual saham pada S(t) sekarang, S(t) hanya dapat disimpan pada tingkat pinjaman saat ini r₁ . Sebaliknya, jika pedagang menjual kontrak dan meminjam S(t) jumlah uang untuk membeli saham di S(t) , tingkat bunga pinjaman adalah tingkat pinjaman r₂ .

Harga kontrak ke depan dengan dividen

Mengambil satu langkah lebih jauh, sekarang mari kita pertimbangkan saham S yang membayar hasil dividen yang diketahui p , dinyatakan sebagai persentase dari harga saham secara terus menerus per tahun. Kami mengklaim harga forward untuk kontrak forward pada saham S dengan harga pasar saat ini S(t) pada waktu t adalah F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Kami memperoleh hasil ini menggunakan dua portofolio. Misalkan portofolio A terdiri dari e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ unit saham dengan dividen yang terus diinvestasikan kembali dalam saham dan misalkan portofolio B terdiri dari satu kontrak berjangka atas saham dengan harga penyerahan K dan jatuh tempo T dan Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ ᵗ⁾ jumlah uang tunai.

Pada saat T , portofolio B memiliki kas sejumlah Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K , yang pada gilirannya dihabiskan untuk menggunakan opsi forward dan mendapatkan saham S yang harga pasar saat ini adalah S(T) , menjaring nilai portofolio B pada S(T) . Demikian pula, portofolio A memiliki nilai S(t) . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . Karena kedua portofolio A dan B memiliki nilai yang sama S(T) pada waktu T dan kita tidak menambah atau mengurangi apa pun yang tidak bernilai nol antara waktu t dan T, maka kedua portofolio juga harus memiliki nilai yang sama pada waktu t , yaitu S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Kembali ke definisi kita tentang harga forward F(t, T) , F(t, T) adalah harga penyerahan K sehingga Vₖ(t, T) = 0 . Dengan menggunakan rumus yang baru saja kita peroleh, kita sekarang memiliki S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 0 + F(t, T)e⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Dengan mengatur ulang suku-suku di kedua ruas, akhirnya kita memperoleh hasil F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Penetapan harga kontrak berjangka pada mata uang asing

Dengan menggunakan logika yang sama, kita dapat memperoleh harga forward dari kontrak forward pada mata uang asing f . Misalkan X(t) adalah harga pada waktu t dalam dolar AS dari satu unit mata uang asing tersebut f . Misalkan r₁ adalah kurs dolar nol dan r₂ adalah kurs nol asing , baik konstan maupun majemuk terus menerus. Maka F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Pertimbangkan portofolio A dengan e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ unit mata uang asing f . Dan portofolio B dengan satu kontrak berjangka dengan harga penyerahan K dalam dolar AS dan jatuh tempo T dan jumlah uang tunai Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ dalam dolar AS .

Saat jatuh tempo, portofolio B memiliki Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K jumlah dolar AS yang selanjutnya dihabiskan untuk melaksanakan kontrak berjangka untuk menerima satu unit mata uang asing f . Demikian pula, portofolio A memiliki e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 1 unit mata uang asing f pada waktu T . Karena kedua portofolio terdiri dari tepat satu unit mata uang asing f pada waktu T dan tidak ada transaksi tambahan dengan nilai bukan nol yang dilakukan antara waktu t dan T , keduanya harus memiliki nilai yang sama pada waktu t. Oleh karena itu, X(t) . e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Sekali lagi, pengaturan Vₖ(t, T) = 0 dan K = F(t, T) , kita sampai pada F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Studi kasus

Forward FX adalah salah satu kontrak derivatif paling likuid di dunia dan sering mengungkapkan lebih banyak tentang kesehatan pasar uang (pasar untuk meminjam atau meminjamkan uang tunai) daripada menerbitkan suku bunga jangka pendek itu sendiri. Pertimbangkan dua pertanyaan berikut.

(a) Pada tanggal 3 Oktober 2008, kurs FX dolar euro diperdagangkan pada €1 = $1,3772, dan harga forward untuk kontrak forward 3 April 2009 adalah $1,3891. Dengan asumsi suku bunga euro enam bulan adalah 5,415%, berapa tingkat dolar enam bulan yang tersirat? Kedua suku bunga tersebut dikutip dengan perhitungan tindakan/360 hari dan peracikan setengah tahunan . (Ada 182 hari antara 3 Oktober 2008 dan 3 April 2009.)

Dalam hal ini, t = 0, T = 182, X(0) = 1,3772, F(0, 182) = 1,3891.

Menggunakan hasil yang telah kita peroleh sebelumnya, F(0, 182) = X(0) . e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽¹⁸²⁻⁰⁾ , di mana r₁ dan r₂ masing-masing adalah tingkat dolar nol konstan dan gabungan terus-menerus dan tingkat nol asing.

eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ adalah nilai akhir €1 setelah 182 hari peracikan terus-menerus pada tingkat euro konstan r₂ , yang setara dengan 182 hari peracikan setengah tahunan pada tingkat euro enam bulan sebesar 5,415% dikutip dengan undang-undang /360 hitungan hari. Artinya, eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360 * ((1 + 0,05415/2)² — 1) + 1. Suku pertama hanyalah bunga yang masih harus dibayar pada €1 selama 182 hari.

Demikian pula, misalkan x adalah kurs dolar enam bulan tersirat, eʳ¹⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360*((1 + x /2)² — 1) + 1.

Mengganti dan menyusun ulang suku-suku, kita memecahkan x dan memperoleh x = 7,11820941%. Oleh karena itu tingkat dolar enam bulan tersirat adalah 7,11820941%.

(b) Kurs dolar enam bulan yang dipublikasikan sebenarnya adalah 4,13125%. Peluang arbitrase apa yang ada? Apa yang dibutuhkan oleh calon arbitrase untuk bertransaksi untuk mengeksploitasi peluang ini?

Arbitrase dapat melakukan transaksi berikut untuk mengeksploitasi:

Pada tanggal 3 Okt 2008, long one 3 April 2009 forward contract, jual €1 pada $1.3772 dan deposit $1.3772 pada 4.13125%.

Pada tanggal jatuh tempo 3 April 2009, dapatkan kembali dari deposit dengan bunga sebesar $1,3772 * {[(1 + 0,0413125/2)² — 1] * 182/360 + 1} = $1,406260951 dan beli €1 seharga $1,3891 per kontrak berjangka. Untung $1,406260951 — $1,3891 = $0,01716095091 untuk setiap kontrak yang dibeli oleh arbitrator.

Referensi:

1. Pengantar Keuangan Kuantitatif. Stephen Blyth.https://vittaquant-ai.com/wp-content/uploads/2021/08/An-Introduction-to-Quantitative-Finance-by-Stephen-Blyth.pdf
2. https://quant.stackexchange.com/questions/68515/how-to-derive-forward-price-on-stock-with-continuous-dividend
3. Teorema Dasar Pertama Penetapan Harga Aset. Departemen Matematika Cornell.http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2008/spulido/fftap.html