Dinamakan setelah ahli matematika Inggris George Green, Teorema Green adalah teorema klasik dalam kalkulus, cabang matematika yang berurusan dengan studi ketat tentang perubahan dan fungsi yang berkelanjutan. Artikel ini mengeksplorasi kalkulus pada ruang Euclidean R³ 3 dimensi, dan bertujuan untuk menjembatani kesenjangan antara matematika sekolah dan universitas.

Teorema pertama dalam studi Kalkulus Vektor mereduksi integral luas menjadi integral garis. Ini menghubungkan integral garis di sekitar kurva tertutup sederhana C ke integral ganda di atas bidang bidang D yang dibatasi oleh C.

Intuisi

Untuk memahami ini secara sederhana, pikirkan aliran fluida dalam bidang dua dimensi. Bayangkan fluida mengalir di dalam suatu wilayah, dan alirannya dijelaskan oleh medan vektor. Kurva, yang membatasi daerah ini, dapat dianggap sebagai pembatas, dan kita tertarik pada sirkulasi bersih fluida di sekitar pembatas ini.

Intuisi di sini adalah bahwa sirkulasi bersih di sekitar kurva tertutup ditentukan oleh "perilaku rotasi" (ikal) medan vektor di dalam wilayah yang dilingkupinya. Jika ikalnya positif, itu berarti bidang berputar ke arah yang sama dengan orientasi kurva (berlawanan arah jarum jam), yang berkontribusi pada sirkulasi. Jika curl negatif, itu berlawanan dengan orientasi kurva, mengurangi sirkulasi.

Area Elips

Aplikasi Teorema Green ada di area komputasi. Berikut adalah luas daerah D

Tujuan kami adalah untuk memilih fungsi P dan Q yang sewenang-wenang sehingga kami puas dengan yang berikut ini.

Ada beberapa kemungkinan yang berguna.

Seperti yang bisa kita lihat, ekspresi yang berbeda ini semuanya memberikan area yang sama.

Untuk menghitung luas dengan Teorema Green, kita akan mengambil kemungkinan pertama.

C menunjukkan kurva persamaan elips. Kami akan membuat parameternya sebagai berikut.

Kurva berkisar dari 0 hingga 2pi, integralnya adalah sekarang

Kita kemudian dapat mensubstitusi x = acost(t) serta turunan dari y terhadap t.

Sebagai latihan, coba hitung integralnya dan jawabannya akan keluar sebagai

Terima kasih telah membaca. Jangan lupa untuk bertepuk tangan jika artikel itu menurut Anda berwawasan.