A dimostrarlo $x^2$ non è uniformemente continuo

Question

Lo sappiamo $f(x)=x^2$ non è uniformemente continua come funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. Anzi, lascia$\epsilon=1$. Per ogni$\delta>0$, possiamo scegliere $\alpha>0$ abbastanza grande in modo che $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Quindi se impostiamo$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ noi troviamo $|x-y|<\delta$, ancora $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. Quindi il$\epsilon-\delta$ la definizione di continuità uniforme è negata e ciò $f$ non è uniformemente continuo.

Ora se $X\subset\mathbb{R}$ è un insieme illimitato e aperto, come lo dimostriamo $f:X\rightarrow [0,\infty)$non è uniformemente continuo? Ho provato a seguire una procedura simile come sopra, ma non ha funzionato. La difficoltà che ho è che non posso esserne sicuro$y=\alpha+\delta/2\in X$, perché $X$ potrebbe essere un insieme illimitato aperto con intervalli aperti più stretti come $x$ aumenta, per esempio $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

Dato quanto sopra, c'è un modo per modificare la dimostrazione di cui sopra per il $f:X\rightarrow [0,\infty)$Astuccio? Non mi interessa solo ricevere una prova, ma volevo sapere come la mia prova potrebbe essere modificata, o se semplicemente non poteva essere modificata in questo caso.

Answer 1

Non è vero. Ritenere$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Nota se$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, poi $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Dato $\epsilon > 0$, scegli $N > \frac3\epsilon$. Se$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, e $|x-y| < \tfrac12$, poi $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. E da allora$f(x)$ è uniformemente continua $[0,N+1]$, possiamo trovare $\delta > 0$ e $\delta < \tfrac12$ tale che se $x,y \in [0,N+1]$, poi $|x-y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y) < \epsilon$.