Applicare la trasformata di Fourier all'equazione $\nabla\cdot[\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]=\nabla^2p$

Question

Considera un'equazione

$$\nabla\cdot[\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]=\nabla^2p,$$

in quale $\mathbf{F}$ è una funzione vettoriale differenziabili, $\delta(\mathbf{r})$ è la funzione delta di Dirac, $\nabla\cdot$ è un operatore di divergenza, $\nabla^2$ è l'operatore di Laplace, e $p$ è una funzione scalare differenziabile.

Ho difficoltà ad applicare la trasformata di Fourier a questa equazione per ottenere $\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{F}=k^2\hat{p}$, dove $\hat{}$ denota la funzione trasformata.

Quello che ho provato è il seguente:

$$\mathcal{F} [\mathrm{LHS}]=\mathcal{F}[(\nabla\delta)\cdot \mathbf{F}+\delta\nabla\cdot\mathbf{F}]=\mathcal{F}[(\nabla\delta)\cdot \mathbf{F}]+\delta \mathcal{F}[\nabla\cdot\mathbf{F}],$$

$$\mathcal{F}[\mathrm{RHS}]=[(\mathrm{i}k_x)^2+(\mathrm{i}k_x)^2]\hat{p}=-(k_x^2+k_y^2)\hat{p}\equiv-k^2\hat{p}.$$

Non so come valutare ulteriormente il FT della LHS. Grazie in anticipo.

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Aggiornamento (24 agosto 2020):

Applicare la definizione di FT: $\hat{f}(\mathbf{k})=\int_{-\infty}^{\infty}f(\mathbf{r})e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\:\mathrm{d}\mathbf{r}$

rispettivamente su LHS e RHS:

$$\mathcal{F}\{\nabla\cdot [\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]\}=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathcal{F}[\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})]=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}\delta(\mathbf{r})e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\:\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{F}e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right)\vert_{\mathbf{r}=\mathbf{0}}=\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{F}(\mathbf{0}),$$

e

$$\mathcal{F}[\nabla^2p]=(\mathrm{i}\mathbf{k})\cdot(\mathrm{i}\mathbf{k})\int_{-\infty}^{\infty}p e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\:\mathrm{d}\mathbf{r}=-k^2\hat{p}.$$

Ne consegue che $\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{F}(\mathbf{0})=-k^2\hat{p}$, che differisce dal risultato atteso per un segno negativo.

Answer 1

Nota che abbiamo

$$\begin{align} \mathscr{F}\{\nabla \cdot (\vec F\delta)\}&=\mathscr{F}\{i\vec k\cdot \vec F\delta\}\\\\ &=i\vec k\cdot \vec F(0) \end{align}$$

In alternativa, nota quello

$$\begin{align} \mathscr{F}\{\nabla \cdot (\vec F\delta)\}&=\mathscr{F}\{\vec F\cdot \nabla (\delta)+\delta \nabla\cdot \vec F\}\\\\ &=-\left.\left(\nabla \cdot (e^{-i\vec k\cdot \vec r}\vec F(\vec r))\right)\right|_{\vec r=0}+\left.\left(\nabla \cdot (\vec F(\vec r))\right)\right|_{\vec r=0}\\\\ &=i\vec k\cdot \vec F(0) \end{align}$$

come previsto!