Calcola alcuni integrali che coinvolgono funzioni ellittiche di Jacobi

Question

Voglio valutare i seguenti integrali $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ e $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ dove $\text{sn}$, $\text{dn}$ e $\text{cn}$sono le funzioni snoidali , dnoidali e cnoidali dell'ellittica Jacobi ,$K:=K(k)$ è l'integrale ellittico completo del primo tipo e numero $k \in \left(0,1\right)$ è chiamato modulo.

Ho già consultato il riferimento $[1]$alla ricerca di qualche formula che mi aiuti, ma non ho trovato nulla. Questi integrali hanno una forma esplicita? Ci sono altri riferimenti a cui posso fare riferimento per aiutarmi?

$[1]$PF Byrd. MD Friedman. Manuale di integrali ellittici per ingegneri e scienziati. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.

Answer 1

Per mezzo delle relazioni fondamentali (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ possiamo trasformare il primo integrale dato in $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ Con B&F 364.03 possiamo riscriverlo come un integrale completamente razionale, che è facilmente valutabile: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ Quando trasformiamo il secondo integrale dato otteniamo $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ a quel punto ci rendiamo conto che questo è solo un caso speciale del primo integrale con $k^2=1$, quindi otteniamo immediatamente il risultato come $\frac\pi{16}$.