Calcola il limite$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

Devo calcolare il limite$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

In realtà ho una soluzione, ma questa dovrebbe essere una risposta di 60 secondi o meno (da un esame con molte più domande)

Quindi mi chiedo se c'è un modo più semplice o dovrò solo pensare più velocemente.

Ecco cosa ho provato:

per$ x\to \infty $anche$ t\to\infty $e$ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $quindi possiamo prendere l'espansione di Taylor$ cos $intorno a$ 0 $:

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $così:

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

e anche$ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $così

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

adesso:

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

E$ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

così$ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

Mi ci è voluto molto tempo per pensarci, se c'è un modo più semplice/suggerimenti o trucchi per farlo più facilmente, sarebbe davvero utile.

Grazie in anticipo

Answer 1

C'è un modo più semplice. Se$x$è abbastanza grande allora$0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$per tutti$t \in (x,2x)$. Quindi$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$. Quindi è sufficiente trovare il limite di$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $che è$\ln 2$mediante calcolo diretto.