Calcolo di Spivak 5-15-vi $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2(x)+2x}{x+x^2}$

Question

Valuta quanto segue in termini di $\alpha = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}:$

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2 (x)+2x}{x+x^2}$$

Sono bloccato su questo. Ho provato a usare$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ seguito da $\cos^2(x)=1 - \sin^2(x)$ per ottenere tutto in termini di $x$ e $\sin$. Poi ho provato in termini di$x$ e $\cos$ (da $\cos$è al denominatore). Ho provato anche le frazioni parziali. Aiuto.

Answer 1

Potresti scrivere $$\frac{\tan^2 x + 2x}{x + x^2} = \frac{\tan^2 x + 2x}{x(x+1)} = \frac{\dfrac{\sin x}{x} \cdot\dfrac{\sin x}{\cos^2 x} + 2}{x+1}$$ e usa le leggi sui limiti per ottenere il limite $$\frac{\alpha \cdot 0 + 2}{1}$$

Answer 2

Dato,

$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}$ ,

Ora sto prendendo $"x"$ comune da numeratore e denominatore,

noi abbiamo,

$$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}=\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}$$

Come sappiamo, $Lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}=1$

Così,

$$Lim_{x\to0}\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}=\frac{0\cdot1 +2}{1+0}=2$$

Answer 3

Da $\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos x=1$, noi abbiamo $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}x=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}x=\alpha$, ie $\tan x=\alpha x+o(x)$.

Così $\tan^2 x=\alpha^2 x^2+o(x^2)$, e $\tan^2 x+2x=2x+o(x)=x(2+o(1))$.

Poi $\frac{ \tan^2 x+2x}{x(1+x)}=\frac{2+o(1)}{1+x}$ e il limite come $x\to 0$ è 2.