Campionamento indipendente di variabili casuali dipendenti

Question

Permettere $x_1, \ldots, x_n$possono essere variabili casuali dipendenti , ciascuna delle quali assume valori$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Supponiamo inoltre che in ogni risultato il numero di variabili casuali uguali a 2 sia esattamente 1. Ora per ciascuna$i \in \{1, \ldots, n\}$ definire $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ e per ciascuno $i \in \{1, \ldots, n\}$ permettere $y_i$ essere una variabile casuale di Bernoulli che è 1 indipendentemente con probabilità $f_i$ e 0 altrimenti.

La seguente congettura è corretta o c'è una distribuzione su $x_i$lo sta confutando?

Congettura: c'è un fisso$\epsilon > 0$ (es $\epsilon$ essere indipendente da $n$) tale che almeno con probabilità $\epsilon$, c'è esattamente un indice $i$ dove $y_i = 1$.

Domanda correlata: limiti sulla varianza della somma delle variabili casuali dipendenti

Answer 1

La risposta è "no" (se ho capito correttamente la domanda).

Considerare la seguente distribuzione congiunta scambiabile di $x_i$S. In caso$A$, che si verificano con probabilità $1/\sqrt n$, tutti i $x_i$s sono 1, eccetto uno 2. Nell'evento del complemento $B$, tutti i $x_i$s sono 0 eccetto uno 2.

Sotto questa distribuzione, $f_i$ è 0 o $1/\sqrt n$. Permettere$Y=\sum y_i$. Da$E[ Y|A]=\sqrt n$, e $E[Y|B]=1/\sqrt n$, in entrambi i casi è troppo lontano da 1; quindi la probabilità che ne esista uno esattamente positivo$b_i$ sta svanendo.