Capovolgiamo il simbolo di disuguaglianza quando dividiamo o moltiplichiamo per una variabile di espressione?

Question

Capovolgiamo il simbolo di disuguaglianza quando dividiamo o moltiplichiamo per una variabile di espressione nello stesso modo in cui facciamo quando moltiplichiamo o dividiamo per un numero negativo?

Al momento ho una certa confusione sulla comprensione delle disuguaglianze logaritmiche.

C'è una disuguaglianza che non sono sicuro del motivo per cui ho sbagliato.

$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$

1. Perché sia ​​reale, lo so $(2x-1)/(x-2) > 0,$ e quindi dovremmo essere in grado di cancellare (moltiplicare entrambi i lati) la variabile di espressione $(x-2).$ Senza cambiare il simbolo da $>$ per $<$ dopo la moltiplicazione, tuttavia, ho ottenuto il risultato $x > 1/2$ invece della risposta corretta $x < 1/2.$

2. Lo so anche io $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ e quindi dovremmo anche essere in grado di cancellare la variabile di espressione $(x-2).$ Senza cambiare il simbolo da $<$ per $>$ dopo la moltiplicazione, tuttavia, ho ottenuto il risultato $x < -1$ invece della risposta corretta $x > -1.$

Dopo aver combinato entrambi i casi in una linea numerica, la risposta corretta è $-1 < x < 1/2,$

ma ho $x < -1, x > 1/2,$ tranne $x=2,$ che è testato per essere errato.

Non sono sicuro che la mancata commutazione dei simboli sia la fonte del mio errore, motivo per cui lo chiedo.

Poiché questo processo comporta la moltiplicazione o la divisione di variabili di espressione, ritengo anche che il mio metodo non sia adatto a causa della possibilità di soluzioni estranee e forse dovrebbe invece disegnare e compilare una tabella di tentativi + errori.

Grazie in anticipo per il tuo tempo e le tue risposte.

Answer 1

abbiamo $\frac{2x-1}{x-2}>0$. Moltiplicando per$(x-2)^2$ su entrambi i lati, abbiamo

$$(2x-1)(x-2) > 0$$

e quindi $x < \frac12$ o $x > 2$.

Il tuo errore è che lo hai supposto $x-2>0$ deve essere vero.

Lo sappiamo anche $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$

Se $x>2$, Poi abbiamo $2x-1 < x-2$, che è equivalente a $x < -1$ che contraddice $x>2$.

Se $x < \frac12$, Poi abbiamo $2x-1 > x-2$ e quindi $x > -1$.

La conclusione è $-1 < x < \frac12$.