Caratterizzazione di C*-algebre di dimensione finita?

Question

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Permettere$A$essere di dimensione finita$*$-algebra finita$\mathbb C$.
(Cioè, un'algebra associata dotata di un'involuzione$*:A\to A$soddisfacente$(ab)^*=b^*a^*$e$(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)

Supponiamo che per$\forall a\in A$noi abbiamo$\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
Segue quello$A$cos'è un'algebra C*?

Ecco, lo spettro$\Spec(x)$di un elemento$x$è l'insieme degli scalari$\lambda\in \mathbb C$tale che$x-\lambda$non è invertibile.

Answer 1

Permettere$V$essere uno spazio vettoriale complesso dotato di un'operazione stella involutiva anti-lineare (es. una C*-algebra di cui si è dimenticata la moltiplicazione). Equipaggia$V$con la moltiplicazione identicamente zero, vale a dire$xy=0$per tutti$x$e$y$in$V$. Poi l'unificazione di$V$è un controesempio. In effetti, ogni elemento$a$di$V$è nilpotente così$\text{spec}(a) = \{0\}$. Di conseguenza lo spettro di qualsiasi elemento della forma$a-\lambda$è$\lambda$da dove si verifica facilmente la condizione richiesta.

Tuttavia$a^*a=0$per ogni$a$in$V$, Così$\tilde V$non può essere un'algebra C*.