Cinetica di un decadimento radioattivo parallelo simultaneo

Question

Domanda:

Un isotopo radioattivo, A subisce un decadimento simultaneo in diversi nuclei come: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ \ mathrm h) \\ \ ce {A-> Q} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {array}

Supponendo che inizialmente né P né Q fossero presenti, dopo quante ore la quantità di Q sarà appena il doppio della quantità di A rimanente?

La mia soluzione:

io ho il $t_{1/2}$ per $A$ come $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$

Ora dalla legge di Rutherford-soddy il numero di atomi rimasti dopo$n$ le mezze vite sono,

$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

e numero di emivite $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$

Per isotopo $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ dove $T$ è il tempo comune di decadenza per $\mathrm A$ e $\mathrm Q$

Per $\mathrm Q$ Ho dovuto presumere che $\mathrm Q$ sta anche subendo un decadimento radioattivo per formare una relazione tra $\mathrm A$ e $\mathrm Q$

Ora usando la stessa formula di cui sopra $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$

Ora applicando la condizione nella domanda, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$

Alzarsi con il potere $9$ su entrambi i lati,

$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$

il che implica,

$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$

Perciò,

$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$

Anche se ho una risposta e soddisfa la condizione, penso ancora che sia sbagliata a causa del presupposto fatto $\mathrm Q$ e qualcos'altro doveva essere fatto per stabilire la relazione tra $\mathrm A$ e $\mathrm Q$ Inoltre, nella domanda è indicato che inizialmente nessuno dei due $\mathrm P$ né $\mathrm Q$ era presente e immagino che il presupposto violi quello.

Answer 1

---

Reazioni parallele o collaterali del primo ordine: Concept

$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$

Ordine effettivo = 1

$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$

$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$

$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$

Differenziare per quanto riguarda $T$,

$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$

$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$

$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$

$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$

allo stesso modo,

$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$

$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$

• proporzione di $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [volte 100 per percentuale]
• proporzione di $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [volte 100 per percentuale]

---

Il vero problema

\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}

$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$

$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$

$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$

$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$

$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$

$$\implies t= 6\mathrm h$$

Quindi questo dà la risposta come 6 h.

Answer 2

La domanda è già stata risolta da Yashwini e la risposta data è corretta.$^2$ Qui seguirà una spiegazione più intuitiva e specifica per la domanda.

Ora, le due reazioni fornite sono:

\ begin {array} {cc} \ require {cancel} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {array}

Ora usando la legge sui tassi, otteniamo

\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}

La costante di velocità per una reazione di primo ordine avente un'emivita di $t_{1/2}$ è definito come:

$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$

Ora, sostituendo i valori dati di $t_{1/2}$ nelle equazioni, otteniamo $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (da $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$

Ora, intuitivamente poiché entrambe le reazioni avvengono insieme, significherebbe che per ogni mole di P formata, due moli di Q si formano. Pertanto, per ogni mole di P formata, reagiscono tre moli di A (poiché è necessaria una mole per ogni mole di P e Q).

Ora aggiungiamo le leggi sui tassi ($1$) e $(2)$, poiché le reazioni avvengono contemporaneamente, per ottenere:

$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$

Ora, da quando si utilizza la relazione tra $k_\mathrm{P}$ e $k_\mathrm{Q}$, noi abbiamo $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$

Quindi utilizzando la legge di velocità integrata per una reazione del primo ordine sull'equazione $(4)$, noi abbiamo:

$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$

Ora, la quantità di $A$ usato qui sarebbe $A_0 -A$e otteniamo che il valore sia:

$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$

Ora, come abbiamo notato in precedenza, per ogni tre moli di A usate, si formano due moli Q. Ciò significa che la quantità di Q ora nella miscela sarebbe due terzi di$A_\text{used}$. Pertanto la quantità di Q sarebbe:

$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$

Ora, ci viene data la condizione, $Q = 2A$, sostituendo i valori di $Q$ e $A$ nella relazione data otteniamo:

$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$

Risolvendo per $t$, noi abbiamo:

\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}

Ora, usando l'equazione $(3)$, otteniamo la costante di velocità $k_\mathrm P$ essere $\frac{\ln 2}{9}$. Sostituendo questo valore nell'espressione per tempo, otteniamo:

$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$

Pertanto, il tempo necessario affinché questa condizione si verifichi è:

$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$