Classificazione dei gruppi di ordine $12$.

Aug 22 2020

Voglio classificare tutti i gruppi di ordine $12$.

Permettere $G$ essere un gruppo con $|G|=12$. Poi$n_3=1$ o $4$.

  1. Se $n_3=4$ Poi abbiamo $|G:\langle x \rangle |=4$ dove $\langle x\rangle$ è un Sylow $3-$ sottogruppo (non normale in $G$) quindi abbiamo un omomorfismo $r:G\to S_4$ con $ker(r)\subseteq \langle x\rangle$ e $ker(r)\lhd G\Rightarrow ker(r)=\{1\}$ così $G$ è incorporato in $S_4$ e ha oredr $12$ quindi $G\cong A_4$.
  2. Se $n_3=1$ poi abbiamo un Sylow unico $3-$ sottogruppo $P=\langle x\rangle$ e lascia $H$ un Sylow $2-$sottogruppo di $G$. Poi$G= P\rtimes_u H$ dove $u:H\to Aut(P)$ e $Aut(P)=Aut(\langle x\rangle)=\langle \tau\rangle,\ \tau:x\mapsto x^{-1}$, $|Aut(\langle x\rangle)|=2$.
  • Se $H\cong \mathbb{Z}_4=\langle y\rangle$ Poi abbiamo $u:\langle y\rangle \to \langle \tau\rangle$

Se $u$ è banale quindi $u(y)(x)=x$ quindi $yxy^{-1}=u(y)(x)=x$ così $G\cong \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_4$

Se $u(y)(x)=x^{-1}$ poi $yxy^{-1}=x^{-1}$ così $G=\langle x,y| \ x^3=y^4=1,\ yxy^{-1}=x^{-1} \rangle$

-Se $H\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2=\langle a\rangle \times \langle b\rangle$ Poi abbiamo $u:\langle a\rangle \times \langle b\rangle\to \langle \tau\rangle$

Se $u$ è banale quindi $G\cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$

Se $u(a)(x)=x^{-1}$ poi $G=\langle a,b,x| \ a^2=b^2=1,\ axa^{-1}=x^{-1},\ bx=xb\rangle$

Quindi abbiamo $5$ gruppi di ordine non isomorfi $12$

Domanda 1) La prova di cui sopra è corretta?

Domanda 2) So che avrei dovuto trovare $D\cong D_6$ da qualche parte ma forse ho fatto qualcosa di sbagliato o non riesco a vedere correttamente le prosentenze.

Risposte

1 rain1 Aug 22 2020 at 15:46

La prova è buona. Penso che possa essere strutturato più chiaramente e i gruppi possano essere identificati esplicitamente. Sappiamo che esistono i seguenti gruppi:

  • Abeliano: $C_{12}$, $C_2 \times C_2 \times C_3$.
  • Non abeliano: $A_4$, $D_6$, $Dic_3$ (Noto anche come gruppo metaciclico di ordine 12).

La teoria di Sylow ci dice che i 3 sottogruppi di Sylow lo saranno $C_3$, e saranno i 2 sottogruppi Sylow $C_4$ o $C_2 \times C_2$. Inoltre apprendiamo che:

  • $n_2 = 1$ o $3$.
  • $n_3 = 1$ o $4$.

quando $n_2 = n_3 = 1$ abbiamo i gruppi abeliani.

quando $n_3 = 4$ hai dimostrato che abbiamo $A_4$.

Possiamo ora esaminare l'unico caso rimanente: $n_3 = 1$ e $n_2 = 4$. In questa situazione stiamo cercando i prodotti semidiretti non banali$C_3 \rtimes_\theta P_2$ con $\theta : P_2 \to \operatorname{Aut}(C_3)$.

Nota che $\operatorname{Aut}(C_3) \simeq \langle id, inv \rangle \simeq C_2$

Dividiamoci in casi in base a cosa $P_2$ è.

( Caso A )$P_2 = C_4$:

In questo caso c'è esattamente un omomorfismo non banale da cui è forzato $\theta(0) = 0$ e $\theta(1) = 1$. Questo ci dà il gruppo metaciclico,$Dic_3$.

( Caso B )$P_2 = C_2 \times C_2$:

In questo caso ci sono 3 diversi omomorfismi non banali:

  • $\theta_a(0,0) = 0$, $\theta_b(0,0) = 0$, $\theta_c(0,0) = 0$
  • $\theta_a(0,1) = 1$, $\theta_b(0,1) = 0$, $\theta_c(0,1) = 1$
  • $\theta_a(1,0) = 0$, $\theta_b(1,0) = 1$, $\theta_c(1,0) = 1$
  • $\theta_a(1,1) = 1$, $\theta_b(1,1) = 1$, $\theta_c(1,1) = 0$

Ora questi in realtà ci danno tutti prodotti semidiretti isomorfi perché abbiamo automorfismi di $P_2$ che mettono in relazione queste mappe tra loro:

  • $(a,b) \mapsto (a,b)$
  • $(a,b) \mapsto (b,a)$
  • $(a,b) \mapsto (a,ab)$

Ora possiamo usare $\theta_a$ e la definizione di moltiplicazione di elementi in un prodotto semidiretto per vederlo $C_3 \rtimes_{\theta_a} C_2 \times C_2 \simeq S_3 \times C_2 \simeq D_{6}$.