Codimensione due foliazioni con superfici trasversali

Question

Supponiamo che ne abbia alcuni chiusi$4$-collettore$X$e una foliazione di codimensione due$\mathcal{F}$, così come una superficie chiusa$\Sigma$di autointersezione non negativa che è ovunque trasversale a$\mathcal{F}$.

Allora che tipo di restrizioni ci sono sulla foliazione$\mathcal{F}$? Questa domanda dà alcune risposte nel caso in cui$X$è una superficie complessa e$\mathcal{F}$è olomorfo, ma sono più interessato a ciò che accade nel caso reale.

Answer 1

In questo caso reale, ci sono poche restrizioni. Anzi, scegli$\Sigma\subset X$tale che$X$ammette un campo liscio a 2 piani$\xi$(non necessariamente integrabile) trasversale a$\Sigma$. Quindi, è facile perturbare leggermente$\xi$per renderlo integrabile su un piccolo quartiere di$\Sigma$. Quindi, per un teorema di Thurston (Commentarii 1974),$\xi$, essendo di dimensione reale$2$, può essere omotopede rel.$\Sigma$diventare integrabile ovunque. Puoi anche iniziare con l'estensione$\xi$a una foliazione parziale di tua scelta rispetto a qualsiasi sottoinsieme regolare di$X$. Quindi, le possibilità sono enormi.