Come mostrare $f^{-1}(0) \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ è liscia
Permettere $f : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$essere una mappa fluida. Mi chiedo quale sia la levigatezza del set$f^{-1}(0)$ alle seguenti condizioni:
(1) Per tutti $x \in \mathbb{R}^m$, $f^{-1}(0) \cap (\{x\} \times \mathbb{R}^n)$ è liscio di dimensione $r$(se non vuoto). La dimensione rimane la stessa per tutti$x$.
(2) Per tutti $(x, y) \in f^{-1}(0)$ la restrizione della proiezione $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ al kernel di $df_{(x,y)}$è suriettivo. In altre parole, per tutti$u \in \mathbb{R}^m$ lì esiste $v \in \mathbb{R}^n$ tale che $df_{(x,y)}(u, v) = 0$.
Perché è $f^{-1}(0)$ una sottovarietà liscia di $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$? (Forse non lo è, ma ho visto quell'affermazione da qualche parte, ecco perché lo chiedo.)
Sto cercando di applicare il teorema di trasversalità, ma da allora non è chiaro come $df_{(x,y)}$potrebbe non essere surjective. Intuitivamente, con (1), la non levigatezza può verificarsi solo nelle direzioni trasversali$\mathbb{R}^m \times \{y\}$ ma perché $\ker df_{(x,y)} \to \mathbb{R}^m$ è suriettivo che non può accadere.
Risposte
Mi sembra sbagliato; forse sto trascurando qualcosa, quindi ricontrollalo attentamente.
Prendere $m=n=1$ e $r=0$. Permettere$f\colon\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ essere dato da $$f(x,y)=x^2-y^2.$$ $f^{-1}(0)$ è il set $|y|=|x|$e le fibre quando proiettate su $x$-asse sono $0$-dimensionale (scollegato diverso dall'origine). Il kernel di$df_{(x,y)}$ salti di dimensione all'origine, ma il tuo criterio di suriettività poi vale ancora più facilmente.