Come ottenere il risultato corretto per questo integrale?

Aug 15 2020

Wolfram | Alpha è, per quanto ne so, l'unico sito Web che fornisce la soluzione corretta a questo integrale ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ perché derivando la funzione data come risultato si arriva alla funzione originale.

Questa è la soluzione: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$

Tuttavia, in questo video, viene fornito un risultato errato sebbene il processo di integrazione sembri corretto. Come sopra, sai che il risultato non è corretto poiché derivare la funzione risultante non risulta nella funzione originale che volevamo integrare.

Devo arrivare al risultato corretto, ma non so come.

Risposte

5 AniruddhaDeb Aug 15 2020 at 22:33

Come sottolineato da Ninad, si tratta di una soluzione parziale, equivalente al processo utilizzato nel video, valido solo se $$\cos\frac t2$$ è positivo .

Inizia con questa identità:

$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Per applicarlo all'integrando, eseguire prima la sostituzione $t = \sqrt x$, quindi applicare successivamente questa proprietà. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$