Come ottenere il risultato corretto per questo integrale?
Wolfram | Alpha è, per quanto ne so, l'unico sito Web che fornisce la soluzione corretta a questo integrale ,$$ f(x) = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2 \cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+2}+2}+2}}{\sqrt{x}} $$ $$ F(x) = \int f(x)\, dx$$ perché derivando la funzione data come risultato si arriva alla funzione originale.
Questa è la soluzione: $$ F(x) = \frac{1}{5} (-8) \sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1} \sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2} \left(\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}-2\right) \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} \sqrt{\cos \left(5 \sqrt{x}+4\right)+1}+2}+2} \csc \left(5 \sqrt{x}+4\right) + C $$
Tuttavia, in questo video, viene fornito un risultato errato sebbene il processo di integrazione sembri corretto. Come sopra, sai che il risultato non è corretto poiché derivare la funzione risultante non risulta nella funzione originale che volevamo integrare.
Devo arrivare al risultato corretto, ma non so come.
Risposte
Come sottolineato da Ninad, si tratta di una soluzione parziale, equivalente al processo utilizzato nel video, valido solo se $$\cos\frac t2$$ è positivo .
Inizia con questa identità:
$$\sqrt{2+2\cos t} = \sqrt{4\cos^2\frac t2} = 2\cos\frac t2$$ Per applicarlo all'integrando, eseguire prima la sostituzione $t = \sqrt x$, quindi applicare successivamente questa proprietà. $$\begin{gather} I = \int\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(5t+4)}}}\cdot 2dt\\ = \int\sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos\left(\frac{5t+4}{2}\right)}} \cdot 2 dt\\ = \int\sqrt{2 + 2\cos\left( \frac{5t+4}{4}\right)} \cdot 2dt \\ = \int 4\cos\left(\frac{5t+4}{8}\right) dt \\ = \frac{32}{5}\sin\left( \frac{5\sqrt x + 4}{8} \right) + C \end{gather}$$