Come studiare per imparare la geometria differenziale per applicarla alla statistica
Fondamentalmente voglio imparare la geometria dell'informazione o in particolare l'applicazione della geometria differenziale nelle statistiche per fare un progetto. Vengo da un background statistico e ho una conoscenza dell'analisi reale, del calcolo di diverse variabili, dell'algebra lineare. Uno dei miei professori mi disse che i primi tre capitoli della Geometria differenziale di Do Carmo sarebbero stati sufficienti. Qualcuno può assicurarmi se è sufficiente o devo imparare la geometria riemanniana. E se ho bisogno di imparare la geometria riemanniana, allora quale dovrebbe essere il mio percorso di apprendimento. Non voglio imparare la matematica rigorosa. Voglio solo applicarlo alle statistiche.
Risposte
Avishek, non è facile rispondere con il poco contesto che hai fornito.
Vorrei andare prima con quello che ha detto il tuo prof, e sì, Do Carmo è il posto dove andare.
Lì imparerai tutto sulle superfici in$R^n$, che è fondamentalmente la geometria differenziale classica.
Se invece il tuo progetto è a livello di ricerca (diciamo tesi magistrale o oltre), allora scarica questo articolo . Ciò ha a che fare con la geometria astratta dell'informazione, che a sua volta si basa sulla moderna geometria differenziale: varietà, calcolo tensoriale, ecc. Fondamentalmente, la principale differenza tra la prima e la seconda è che nella teoria delle varietà non si parte dalla varietà incorporata, piuttosto definisci intrinsecamente l'intero macchinario.
Se non conosci la geometria classica delle superfici, devi comunque dedicare qualche giorno a Do Carmo. Quindi preparati per un sacco di sudore, per entrare nell'approccio moderno.
Spero che sia d'aiuto
Penso che Do Carmo sia una buona opzione. Personalmente, sono un fan dell'Introduction to Smooth Manifolds di John Lee e del suo sequel Riemannian Manifolds. Mentre questi sono scritti a un livello più alto, enfatizzano davvero l'immagine geometrica al lavoro.
Penso che il sondaggio di Nielsen sia un buon articolo e ho trovato molto utile avere un'ampia panoramica di IG. Tuttavia, non consiglierei di usarlo per imparare la geometria differenziale. La maggior parte dei libri sulla geometria dell'informazione adotta un approccio molto peculiare alla geometria, che può dar luogo a vari fraintendimenti. Questi non sono un grosso problema se hai già familiarità con la geometria differenziale, ma sono più un problema se stai cercando di impararla.
Vale la pena leggere entrambi questi lavori se sei interessato a IG, ma darò un esempio di cosa intendo. Sia il libro di Amari che l'articolo del sondaggio di Nielsen affermano che l'olonomia di una connessione piatta è banale (sebbene non usino questo linguaggio). Nella geometria dell'informazione, le connessioni piatte di interesse sono generalmente su famiglie esponenziali (dove questo finisce per essere vero). Tuttavia, in generale, l'olonomia di una connessione piatta non è zero (è indotta dal gruppo fondamentale). Inoltre, per questo risultato, la connessione deve essere sia priva di curvatura che di torsione (non solo priva di curvatura). Le varietà statistiche sono generalmente considerate avere connessioni prive di torsione, quindi questo non è un problema nelle applicazioni. Questi sono punti relativamente minori se si ha familiarità con la geometria differenziale,