Come trovare il numero di funzioni polinomiali distinte da $\mathbb{Z}_2$ per $\mathbb{Z}_2$? [duplicare]
Per qualsiasi numero intero positivo $n$, quanti polinomi ci sono di grado $n$ al di sopra di $\mathbb{Z}_2$? Da quanti polinomi distinti funzionano$\mathbb{Z}_2$ per $\mathbb{Z}_2$?
Tentativo: la prima parte mi è chiara visto che ci sono $2$ scelte per ogni coefficiente e ci sono $n$ coefficiente quindi ci sono $2^n$tali polinomi. Ho problemi a comprendere la seconda parte in cui ho bisogno di trovare funzioni polinomiali distinte.
Se presumo $p(x)$ e $p'(x)$ sono due funzioni polinomiali uguali sopra $\mathbb{Z}_2$ tale che $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ e $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, poi $p'(x)=p(x)$ per $x=0,1$. Così$a'_0=a_0$. E poiché il grado di questi polinomi sono$n$ poi $a_n=a'_n=1$. Quindi per trovare funzioni polinomiali distinte dobbiamo considerare quando$p(x)$ non può essere uguale a $p'(x)$ per ogni valore di $x\in\{0,1\}$. Da qui non posso procedere. Cercavo soluzioni. Ovunque vedo che hanno iniziato la discussione con il fatto che ci sono solo$4$tali polinomi e poi danno gli esempi di tali polinomi. Ho bisogno di aiuto per capire questo problema. Grazie
Risposte
Ci sono solo 4 funzioni distinte $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. Questo perché la cardinalità dell'insieme di funzioni$A \to B$ è $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ ogni volta $A,B$ sono insiemi finiti.
Succede che sono funzioni polinomiali. In effetti lo sono$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Quindi li abbiamo trovati tutti.
Al di sopra di $\Bbb{Z}_2$, il polinomio $x(x+1) = x^2 + x$ è identico $0$, il che significa che posso sostituire $x^2$ con $x$in qualsiasi espressione polinomiale e ottenere lo stesso valore. Usandolo ripetutamente, finita$\Bbb{Z}_2$, il polinomio $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ dà sempre lo stesso valore del polinomio $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ e quindi ci sono solo $4$ polinomi distinguibili sopra $\Bbb{Z}_2$, a seconda che $a_0 = 0$ o $1$, e se $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ o $1$.
La risposta alla tua prima domanda dovrebbe essere $2^{n-1}$ piuttosto che $2^{n}$ poiché il coefficiente di $x^n$ è sempre $1$.
Per la seconda parte, nota che l'insieme di tutte le funzioni polinomiali è l'insieme di tutte le funzioni nel tuo caso.
EDIT: A sottolineato nel commento la prima parte di questa risposta non è corretta.