Comprendere la prova di$v\in S$tale che$v\in\text{span}(S\setminus \{v\}) \implies S$è linearmente dipendente.

Question

Quindi sto cercando di capire la dimostrazione presentata da Titu Adreescu per il contrario del seguente teorema:

Permettere$S$essere un insieme di vettori in uno spazio vettoriale$V$. Quindi$S$è linearmente dipendente se e solo se esiste$v\in S$tale che$v\in\text{span}(S\setminus\{v\})$

La dimostrazione per il viceversa è la seguente:

Supponiamo che ci sia$v\in S$tale che$s\in\texttt{span}(S\setminus \{v\})$. Ciò significa che possiamo trovare$v_1, v_2, \dots, v_n \in S\setminus v$e scalari$a_1, \dots, a_n$tale che$v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ma allora$1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$e i vettori$v, v_1, \dots, v_n$sono linearmente dipendenti. Da$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$, ne consegue che$S$ha un sottoinsieme finito che è linearmente dipendente e così$S$è linearmente dipendente. Il risultato segue.

Ora, ottengo la maggior parte della dimostrazione, ma penso che dovrebbe essere sufficiente concludere che S dipende linearmente da$1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$eppure Titu va e lo sostiene$S\setminus \{v\}$è un sottoinsieme linearmente dipendente di$S$(da cui non capisco come derivi$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$) e conclude utilizzando that per dimostrarlo$S$avere un sottoinsieme linearmente dipendente implica che S sia linearmente dipendente.

Per favore aiutami a dare un senso a questa prova. Grazie.

Answer 1

Permettere$v\in S$tale che$v\in \text{span}(S \setminus \{{v}\})$quindi esiste$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$tale che

$$ v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_i \in S \setminus \{v\} $$

Penso che il fatto che$v \notin \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$serve a vederlo davvero$\{v,v_1,\ldots,v_n\}$è linearmente dipendente. Perché?, se alcuni$v_i=v$supponiamo$v_1$hai

$$ (1-\alpha_1)v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0 $$

E non potevi dirlo$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$è linearmente dipendente.

Comunque penso che sia ovvio che$\{v,v_1,\ldots,v_n\} \subseteq S$è linearmente dipendente perché te lo dicono già$v_i \in S \setminus \{v\}$.

Si noti che se$S$avere un sottoinsieme linearmente dipendente,$S$è linearmente dipendente.