Condizioni di convergenza per uno schema iterativo
Permettere$A$essere una matrice singolare e simmetrica, con$\lambda_1=0$e$\lambda_i >0$per$i=2,\ldots,n$.
Considera l'iterazione
$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$
A quali condizioni$x_0$,$\alpha$e$b$, converge alla vera soluzione di$Ax =b$?
Non riesco proprio a muovermi. Ho provato a calcolare$e_{k+1}$ma non sono riuscito a trovare alcuna relazione utile. Inoltre, non so come trovare alcuni vincoli su$x_0$.
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Ho provato a seguire i commenti di @uranix e ho trovato:$$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$
che riscrivo (usando la coerenza) come$$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$
Perciò$$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$
Ora richiederei che il raggio spettrale sia inferiore a$1$, ma da allora$$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$Ho che il primo autovalore è$1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$
Quindi non posso dire nulla sulla convergenza... deve esserci un altro modo. In effetti, non ho usato la simmetria e nemmeno le condizioni$x_0$, come scritto nel testo
Risposte
Un piccolo suggerimento.
Come ho detto nei commenti, considera la base dell'autovalore. I vettori di base sono ortogonali e possono essere scalati per formare una base ortonormale:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$
Espansione dei vettori di errore sulla base$e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$permette di riscrivere la condizione di convergenza utilizzando i coefficienti di espansione. Utilizzando l'identità di Parseval$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$lo otteniamo$e_k \to 0$succede solo se per tutti$m$ogni coefficiente converge a zero, cioè$$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$
Agire con$(I - \alpha A)^k$Su$e_0$agisce su ciascun autovalore separatamente:$$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$
Confrontando il lato destro con$\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$otteniamo immediatamente la relazione$$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$
Ora sta a te trovare le condizioni quando$\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$per ogni$m = 1,\dots,n$.