Confusione sulla definizione (nella teoria ΨDO) degli spazi di Sobolev su insiemi aperti nello spazio euclideo

Question

Sto leggendo Pseudodifferential Operators di ME Taylor, di cui parla l'autore$H^s(\Omega)$ per $s\in\mathbb{R}$ e $\Omega\subset\mathbb{R}^n$un insieme aperto (per esempio, nell'affermazione della disuguaglianza di Gårding) senza mai definirlo. In effetti, ha definito solo tali spazi di Sobolev$\mathbb{R}^n$e collettori compatti. In entrambi i casi, si ha un'estensione$s$-ordine operatore pseudodifferenziale $\Lambda^s$ (con simbolo principale $\langle\xi\rangle^s$) che induce un isomorfismo $H^s\to L^2$. Questa potrebbe essere considerata la definizione di$H^s$. Tuttavia, non so come fare lo stesso per gli open set generali nello spazio euclideo. Alcuni pensieri:

1. A p.51, l'autore osserva che questo viene fatto alterando $\Lambda$in modo che sia adeguatamente supportato. Tuttavia, non sono sicuro di cosa intenda con questo.
2. Forse si potrebbe usare il calcolo funzionale sul laplaciano standard $\Delta$. Ci sono diversi problemi con questo approccio: (a) Avrei bisogno di$\Delta^{s/2}$ da definire sullo spazio delle distribuzioni (in modo che la definizione sia come: una distribuzione $u$ appartiene a $H^s$ Se $\Delta^{s/2}u\in L^2$), ma il calcolo funzionale lo definisce solo su un sottospazio di $L^2$. (b) È$\Delta^{s/2}$ davvero un operatore pseudodifferenziale con il simbolo corretto?

Allora qual è la definizione corretta in questo contesto? Qualsiasi aiuto sarà apprezzato!

Answer 1

1. Definizioni tipiche degli spazi di Sobolev

Per un sottoinsieme aperto generale $\Omega$ (senza assunzioni di regolarità sul suo confine), gli spazi di Sobolev $H^s(\Omega)$ vengono prima definiti per $s\in \mathbb{N}$ (in modo ovvio: derivati ​​fino all'ordine $s$ deve essere in $L^2$) e per generale $s\in \mathbb{R}$ tramite interpolazione / dualità.

Tuttavia, se $\partial \Omega$ è sufficientemente regolare, esiste un modo più semplice: supponiamo per semplicità che $\partial \Omega \in C^\infty$, quindi in genere si definisce $H^s(\Omega)$ come lo spazio delle distribuzioni su $\Omega$ che ammettono un'estensione a $\mathbb{R}^d$ che sta dentro $H^s(\Omega)$. Equivalentemente$H^s(\Omega)=rH^s(\mathbb{R}^d)\subset\mathcal{D}'(\Omega)$, dove $r:\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathcal{D}'(\Omega)$è l'operatore di restrizione. Questo produce gli stessi spazi del primo paragrafo.

Come riferimento su queste cose, posso raccomandare il libro PDE di Taylor, che contiene un intero capitolo su varie definizioni degli spazi di Sobolev. (Anche per$\mathbb{R}^d$ essere sostituito da un collettore chiuso).

1. Scale ellittiche

Ora, per quanto riguarda il commento su adeguatamente supportato $\psi$fare $\Lambda^s$ puoi considerare il Lemma 7.1 in Shubin's $\psi$prenota. In effetti, questo afferma che su una varietà arbitraria$X$ (in particolare potresti prendere $X=\Omega$) che esiste una scala di operatori adeguatamente supportati $\Lambda^s\in \Psi^s_{\mathrm{cl}}(X)$(pedice che denota la classicità) con simboli principali positivi. Shubin definisce quindi gli spazi di Sobolev locali di$H^s_\mathrm{loc}(X)=\{u\in \mathcal{D}'(X): \Lambda^su\in L^2_{\mathrm{loc}}(X)\}$ e dimostra che questo è equivalente ad alcune altre definizioni.

Il punto è che per una varietà generale (non compatta) questo è il massimo che si ottiene: non c'è nozione di $H^s(X)$senza specificare il comportamento delle sue funzioni all'infinito. Se$X$ sembra essere un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^d$ o una varietà chiusa, il comportamento all'infinito (o meglio al confine) è specificato richiedendo che le funzioni siano estensibili attraverso $\partial X$ e siamo nella cornice dei primi paragrafi.

Cosa succede se $X$ ha una metrica Riemanniana $g$? Suppongo che in questo caso si possa definire$H^s(X,g)$ per $s\in \mathbb{N}$ richiedendo che le sue funzioni siano soddisfatte $X_1\dots X_k f \in L^2(M,g)$ per qualsiasi campo vettoriale $X_1,\dots,X_k$ $(0\le k \le s)$ che soddisfano $\vert X_i \vert_g\in L^\infty(X)$. Per non intero$s$ quindi tramite interpolazione \ dualità.

Se $(X,g)$ sembra essere completo (come $\mathbb{R}^d$), poi Gaffney ha mostrato che il Laplacian $1+\Delta_g$ ha una realizzazione autoaggiunta unica in $L^2(X,g)$ e suppongo che si possa chiamare il suo dominio $\tilde H^2(X,g)$. Lo stesso vale per i suoi poteri e quindi possiamo definirlo$\tilde H^s(X,g)$ per $s\in 2\mathbb{N}$ e si estende al generale $s$per interpolazione / dualità. Non sarei sorpreso (ma non l'ho verificato), se davvero$H^s(X,g)=\tilde H^s(X,g)$ in quel caso.

1. Poteri complessi

Ti interessava sapere se puoi definire gli spazi Sobolev su $\Omega$tramite i poteri del laplaciano. Ha più senso prendere i poteri di$P=1+\Delta$ (in analogia con $\mathbb{R}^d$) e in effetti c'è una bella teoria che ti dice che questo è possibile, almeno se sei su un collettore chiuso. Quindi supponiamo che$\Omega$ vive all'interno di una varietà Riemanniana chiusa $(M,g)$ (e $\partial \Omega \in C^\infty)$, poi $P^z$ è definito per tutti $z\in \mathbb{C}$ ed è un classico $\psi$fare ordine $\mathrm{Re}(z)$con le ovvie proprietà algebriche. (Ciò è dovuto a Seeley, ma puoi trovare un bel resoconto nel libro di Shubin).

Ora potresti voler definire $H^s(\Omega)=\{f:P^s f\in L^2(\Omega,g)\}$ e almeno per $s\in \mathbb{N}$ questo dà lo stesso come definito all'inizio, cioè $H^s(\Omega) = r H^s(M)$. Un criterio sufficiente perché i due spazi siano d'accordo è questo$P^s$soddisfa la cosiddetta condizione di trasmissione a$\partial \Omega$: Questa è la definizione 18.2.13 in Hörmander e lo dice $rP^se_0(C^\infty(\bar \Omega)) \subset C^\infty(\bar \Omega)$, dove $e_0$denota l'estensione per zero. Ora per numeri interi positivi$P^s$è un operatore differenziale e soddisfa chiaramente la condizione. Per potenze non intere questo potrebbe fallire, come è menzionato all'inizio di pagina 184 qui . Questo è tutto quello che posso dire al momento.