Confuso con dimensioni e incastonature
Sono nuovo alla topologia e mi scuso in anticipo per questa domanda, forse molto semplice (o filosofica).
Ho sempre pensato a un toro come a una superficie a forma di ciambella $\mathbb{R}^3$. Tuttavia, dopo aver iniziato a studiare la topologia, ho scoperto che il toro è$S^1 \times S^1$ ed è naturalmente definito in $\mathbb{R}^4$. Ma allo stesso tempo, come ho capito, la popolare rappresentazione 3D di un toro è un incorporamento in$\mathbb{R}^3$, quindi, per definizione di inclusione, il toro 4d naturale è omeomorfo rispetto al toro 3d facilmente visualizzato.
Quando prendiamo il quoziente di un quadrato (identificando i lati) per costruire un toro, non stiamo ingannando noi stessi visualizzandolo in $\mathbb{R}^3$, dal momento che otteniamo solo qualche "fetta" di un vero toro 4d. Potrei aver risposto alla mia domanda qui affermando che l'incorporamento è un omeomorfismo, ma voglio comunque capire quali sono le connessioni tra dimensione, incorporamento e omeomorfismo .
Il toro è bidimensionale, poiché 2 punti sono sufficienti per definirlo (un punto per ciascuno $S^1$), ma ogni cerchio è naturalmente presentato in $\mathbb{R}^2$, quindi abbiamo bisogno $\mathbb{R}^4$.
Stiamo perdendo "informazioni" quando "proiettiamo" il toroide $\mathbb{R}^4$ per $\mathbb{R}^3$? È solo perdita visiva o anche topologica?
Posso immaginare di prendere 3 palle $\mathbb{R^3}$ e "restringendola" a una palla da 2 (disco) in $\mathbb{R}^2$ di $z \to 0$. Durante questa transizione da$\mathbb{R}^3$ per $\mathbb{R}^2$ ovviamente abbiamo perso sia le informazioni visive che quelle topologiche (n-ball è omeomorfo di m-ball $\iff$ n = m).
L'omeomorfismo preserva la dimensione "interna", ma non si "preoccupa" dello spazio esterno (estrinseco)?
Risposte
Non vedo davvero il toro "naturale" come $S^1 \times S^1$ seduto $\mathbb{R}^4$. Esistono diversi modi equivalenti (leggi: omeomorfici) di vedere il toro, uno dei quali è l'immagine familiare della "ciambella". Altri due sarebbero come$S^1 \times S^1$ seduto $\mathbb{R}^4$, o come quoziente del quadrato, come hai indicato.
La conclusione è che per un matematico, il toro è un oggetto a sé stante . Che esista uno spazio euclideo ambientale in cui è possibile incorporarlo è in un certo senso irrilevante. È solo un insieme di punti insieme a una raccolta di "sottoinsiemi aperti" che ne definiscono la forma.
Per venire alle tue domande: dato uno spazio topologico (ad esempio, lo spazio $X$che è quoziente del quadrato identificando lati opposti trasportano la topologia quoziente), possiamo cercare di visualizzazione dal incorporare in uno spazio euclideo. Un incorporamento dello spazio topologico$X$ nello spazio euclideo $\mathbb{R}^n$ è solo una mappa $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ tale che $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ è un omeomorfismo.
Quindi, si scopre che $X$ può essere incorporato in $\mathbb{R}^3$, ma anche in $\mathbb{R}^4$. Pensa a questi come "realizzazioni" di$X$in uno spazio ambientale più ampio. Entrambe queste realizzazioni sono omeomorfiche$X$(duh, per definizione di cosa sia un incorporamento), quindi sono anche omeomorfici l'uno per l'altro. Pertanto, nessuna informazione viene persa.
Non è corretto pensare all'immagine a "ciambella" del toro come a una versione proiettata della realizzazione in $\mathbb{R}^4$. Non è in corso alcuna proiezione (come quando si proietta un cilindro verticale in 3D su una fetta di cerchio nel piano orizzontale). La ciambella non è una fetta 3D della forma 4D, è la stessa forma .
Hai ragione quando dici che la dimensione del toro è $2$. Questa dimensione è anche indipendente dallo spazio ambientale. L'omeomorfismo preserva quindi questa dimensione e non si cura della dimensione estrinseca. C'è un piccolo avvertimento qui: è piuttosto difficile definire cosa significhi "dimensione" per uno spazio topologico, quindi provare l'affermazione che il toro ha dimensione 2 è difficile.