Convergenza quasi sicura e sequenze lacunari

Question

C'è un esempio di sequenza $X_n$ di variabili aleatorie in modo che per ogni sequenza lacunaria $n_k$ lo tiene $X_{n_k}$ converge quasi sicuramente a $0$, ma $X_n$ non converge quasi sicuramente a $0$?

Una sequenza $n_k$ è lacunario quando esiste a $\lambda > 1$ così che $n_{k+1} > \lambda n_k$ per tutti $k$.

Answer 1

Lo spazio delle probabilità è $[0,1]$con misura Lebesgue.

Permettere $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Chiaramente $X_n$diverge ovunque. Se$n_k$ è lacunario, allora esiste un numero fisso $M$ (relativo a $\log_2 \lambda$) tale che al massimo $M$ del $n_k$ mentire in qualsiasi $[2^n, 2^{n+1})$e l'insieme in cui ciascuno di questi è diverso da zero ha misura al massimo $\frac 1{n^2}$. Quindi, usando il Lemma di Borel-Cantelli, lo vediamo$X_{n_k} \to 0$ come

Puoi anche creare il file $X_n$indipendente, ma con la stessa distribuzione. Allora puoi dimostrarlo$X_n$ diverge usando il secondo Lemma di Borel-Cantelli.

Answer 2

Come chiarisce la risposta accettata, il lemma di Borel Cantelli rende questo equivalente alla domanda molto più semplice di trovare una sequenza $p_k\ge 0$ che non è sommabile ma in modo che ogni sottosequenza lacunare sia sommabile.

Ad esempio, prendi $p_t$ essere una funzione decrescente con $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, piace $p_t = 1/t$ per $t\in \mathbb{R}_{+}$. Permettere$X_n$ essere una sequenza di Bernoulli indipendenti $(p_n)$variabili casuali. Poi$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, quindi quasi sicuramente, questa sequenza sarà $1$ infinitamente spesso (allo stesso modo, sarà $0$infinitamente spesso anche). Pertanto, con probabilità$1$, non converge. D'altra parte, per qualsiasi sequenza lacunaria$n_k$, ce ne saranno alcuni $\lambda > 1$ così che $n_k > \lambda^k n_1$. Perciò,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ e quindi la probabilità che $X_{n_{k}} > 0$ infinitamente spesso lo è $0$ di Borel Cantelli, e così la sequenza converge a $0$ quasi sicuramente.