Coomologia di Bredon di un'azione di permutazione su $S^3$
Ho visto un paio di domande simili che chiedono di verificare i calcoli della coomologia di Bredon qui e qui , quindi farò io stesso una domanda del genere.
Permettere $\mathbb{Z}/2$ agire $S^3\subset \mathbb{C}^2$ per restrizione di un'azione di permutazione su $\mathbb{C}^2.$ Volevo calcolare la coomologia di Bredon $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$
Ho una decomposizione cellulare basata su una decomposizione complessa $1$-dimensional disk in $3$ cellule: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Qui $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ e $D$ è l'interno di $\mathbb{D}.$ Quindi abbiamo una scomposizione di $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ in celle compatibili con $\mathbb{Z}/2$ azione.
L'insieme di punti fissi di un'azione è un cerchio dato da $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Poiché la categoria orbita di $\mathbb{Z}/2$ consiste di $*$ e $\mathbb{Z}/2$ ci sono le seguenti catene equivarianti: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {celle corrispondenti a} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ volte D \\ \ hline \ end {array}
Quindi sembra che i cochain valutati in $\underline{\mathbb{Z}}$ siamo:
\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} Da$(T\times T)^*=0$ in cochains, abbiamo $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Differenziale $d_1$ è un isomorfismo da allora $\partial(D\times *)=T\times *.$ Sembra che $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$
È un po 'strano per me che il quoziente sia una sfera omologica. Certo, il gruppo$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ poiché l'orientamento è conservato, ma forse me ne sono perso alcuni $2$-torione in gradi inferiori?
Risposte
La tua risposta finale è corretta, ma la struttura cellulare che stai utilizzando non è un file $G$-Struttura CW: $T\times T$ non può essere utilizzato come cella in questo modo.
Mi avvicinerei in questo modo: L'azione di $G = {\mathbb Z}/2$ su $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ può essere scritto come rappresentazione $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, dove $G$ agisce banalmente su $\mathbb{C}$ e per negazione $\mathbb{C}^\sigma$. La sfera$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ è anche la compattazione a un punto $S^{1+2\lambda}$, dove $\lambda$ denota la linea reale con $G$agendo per negazione. Questo ha un$G$-Struttura CW con
- uno $G$-fissa 0 celle,
- uno $G$-fissa 1 cella,
- uno $G$-gratuito a 2 celle e
- uno $G$-gratuito a 3 celle,
in modo che gli skeleta siano $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, e $S^{1+2\lambda}$. Da qui puoi capire che il file$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain complesso è $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$
Un modo per verificare che la risposta sia corretta è scrivere $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ e quindi utilizzare il calcolo noto di $RO(G)$-Comologia graduata di un punto (originariamente dovuta a Stong (inedito), poi pubblicato in vari luoghi).