Cosa c'è di sbagliato in questo integrale definito (valore atteso di una funzione di una variabile casuale normale troncata)?

Aug 21 2020

Sto risolvendo un problema che coinvolge il seguente integrale: $$ \int_{\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)}^\infty \ln(a+\exp(x)-b\left|\exp(x)-d\right|-c(\exp(x)-d)) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \ dx $$ con \begin{aligned} a\geq0, \\ 0\leq c<b<1, \\ b+c<1, \\ d>0. \end{aligned}Il limite inferiore garantisce che l'argomento del logaritmo sia positivo, quindi il logaritmo è ben definito. L'integrale può essere interpretato come il valore atteso della seguente funzione di una variabile casuale$X$, $$ \ln(a+\exp(X)-b\left|\exp(X)-d\right|-c(\exp(X)-d)), $$ dove $X\sim \text{truncated}\ N(\mu,\sigma^2)$ dove la coda sinistra della distribuzione Normale è troncata in corrispondenza $\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)$.

Per lo più ho dimenticato il piccolo calcolo che conoscevo una volta, quindi ho fatto ricorso ad alcuni risolutori online come www.integral-calculator.come www.Desmos.com. Dissero che Antiderivativo o integrale non poteva essere trovato e Indefinito , rispettivamente. Poi mi sono rivolto a Sage Math ma non sono nemmeno riuscito a farlo funzionare (molto probabilmente è colpa mia; sono solo un principiante in Sage Math).

Tuttavia, penso che l'integrale dovrebbe essere fattibile e il suo valore dovrebbe essere finito.

  • Come $x\downarrow-\infty$, il logaritmo asintoti lungo $\ln(a)$.
    Come$x\uparrow\infty$, il logaritmo asintoti lungo $(1-B-C)x$.
    Quindi la funzione si comporta al massimo come una funzione lineare di$x$.
  • La distribuzione normale (troncata) ha un primo momento finito (e molti più momenti di quello).
  • Pertanto, l'integrale dovrebbe essere finito.

Ciò che mi ha sorpreso ancora di più è che i solutori non sono riusciti a calcolare un valore finito dell'integrale anche quando i valori concreti di $a,\ b,\ c,\ d,\ \mu,\ \sigma$ sono stati forniti, almeno per alcuni gruppi di tali valori (ad es. quando $d$ è relativamente grande).

Apprezzerei qualsiasi aiuto per realizzare questo integrale. Ho tracciato tutte le funzioni coinvolte nell'integrale usando Desmos qui . Puoi verificarlo e regolarlo con i parametri molto facilmente per vedere come si comportano le funzioni. Forse sarà utile per aiutarmi. Di seguito viene presentato uno screenshot:

La linea blu tratteggiata è l'argomento di $\ln(\cdot)$.
La linea viola è$\ln(a+\exp(x)-b\left|\exp(x)-d\right|-c(\exp(x)-d))$.
La linea verde è la densità della variabile casuale rispetto alla quale sto integrando.
La linea rossa è l'integrando (il prodotto del logaritmo e della densità).
La linea nera è il limite inferiore dell'integrale definito.

Aggiornamento: come suggerito nei commenti, potrebbe essere impossibile trovare un'espressione in forma chiusa per l'integrale. Tuttavia, penso di aver trovato una spiegazione del motivo per cui l'integrale falliva numericamente per valori concreti di$a,\ b,\ c,\ d$. Sebbene l'integrando sia asintoticamente lineare per$x\rightarrow+\infty$, il suo calcolo richiede un esponenziamento (seguito da un logaritmo). Se eseguito in modo ingenuo, l'esponente di un numero elevato supera rapidamente i limiti del software standard, quindi l'integrazione numerica fallisce. Una soluzione (probabilmente) ingenua è introdurre un limite superiore$ub$ tali che le condizioni A e B siano soddisfatte.

  • Condizione A: la densità $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)$ è numericamente uguale a zero.
  • Condizione B: l'esponente $\exp(x)$ è abbastanza piccolo in modo che il software possa gestirlo senza restituire infinito o errore o simili.

Questo sembra funzionare bene per me nel software R utilizzando la funzione integrate.

Risposte

2 Gono Aug 21 2020 at 18:45

Indichiamo il tuo integrale con $I$, così $$I = \int_{\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)}^{\infty} \ln(a+\exp(x)-b|\exp(x)-d|-c(\exp(x)-d)) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left({-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right) \ dx$$

Abbiamo: \begin{align*}&\quad\;a+\exp(X)−b|\exp(X)−d|−c(\exp(X)−d) \\ &= a+d+\exp(X)-d −b|\exp(X)−d|−c(\exp(X)−d) \\ &=a+d+(\exp(X) - d)(1-b\cdot \text{sgn}(X-d) - c) \end{align*}

Dalle ipotesi che abbiamo $$0 \le (1-b\cdot \text{sgn}(X-d) - c) \le 1$$

e così otteniamo: $$-d \le (\exp(X) - d)(1-b\cdot \text{sgn}(X-d) - c) \le \exp(X)$$ quindi $$a \le a+\exp(X)−b|\exp(X)−d|−c(\exp(X)−d) \le a+d+\exp(X)$$

E otteniamo: $$\ln(a)\left(1-\Phi\left(\ln\left(\frac{(b-c)d-a}{1+b-c}\right)\right)\right) \le I \le E[\ln(a+d+\exp(X))] < +\infty$$ I limiti non sono abbastanza netti ma sufficienti per mostrare che il tuo integrale è finito, quindi esiste.

Lo lascio a te stesso per dimostrarlo $$E[\ln(r+\exp(X))]$$ esiste per $r > 0$ Se $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ e otterrai il risultato impostando $r=a+d$.