Cosa c'è di sbagliato nell'usare una vielbein per definire la rotazione dello stoppino?
Si suppone che la rotazione dello stoppino sia una relazione tra teorie di campo con metriche dello spaziotempo della firma lorentziana ed euclidea. Pensavo che la definizione di rotazione di Wick fosse risolta, finché non mi sono imbattuto in questo articolo - di uno dei pionieri della supergravità - che propone quella che sembra essere una definizione completamente diversa. Ciò probabilmente significa che mi sto perdendo qualcosa di importante, quindi sto facendo questa domanda per aiutarmi a capire cosa mi sto perdendo.
Ecco la definizione che pensavo fosse standard. Considera una teoria dei campi lagrangiana, classica o quantistica, che potrebbe coinvolgere campi di spinori, con una metrica spazio-temporale prescritta (non dinamica) globalmente iperbolica. Ogni punto dello spaziotempo ha un intorno finito in cui la metrica può essere scritta$$ \newcommand{\bfe}{\mathbf{e}} g = \sum_{ab}\eta_{ab} \bfe^a\otimes \bfe^b \tag{1} $$ dove il $\bfe^a$ sono forme uni e $\eta$è la metrica Minkowski. Scrivere la metrica in questo modo facilita la costruzione di un'azione per i campi di spinori nello spaziotempo curvo. Forse ingenuamente, la rotazione di Wick può essere definita come la sostituzione$$ \bfe^0\to i\bfe^0, \tag{2} $$ dove $0$è l'indice del "tempo". Questo cambia la firma di$g$dal lorentziano all'euclideo, o viceversa. Per quanto ne so, questa definizione è inequivocabile, purché si effettui la sostituzione (2) ovunque$\bfe^0$ appare nell'azione.
Domanda: cosa c'è di sbagliato nella definizione (2)?
Una possibile obiezione è che le forme uno soddisfacenti (1) non possono essere sempre definite globalmente in uno spaziotempo curvo. Va bene, ma è davvero necessario? Essi possono essere definite globalmente nello spazio-tempo piatto, e possono essere definiti in regioni finite di uno spazio-tempo curvo, che sembra la più si può ragionevolmente aspettare da una modificazione così fondamentale della metrica. Forse questo è un ostacolo per la gravità quantistica, ma ci sono molti ostacoli per la gravità quantistica, e non vedo perché ciò dovrebbe impedirci di usare la semplice definizione (2) se è adeguata per la normale teoria quantistica dei campi.
Un'altra possibile obiezione è che le proprietà delle rappresentazioni degli spinori sono sensibili alla firma dello spaziotempo: se cambiamo la firma, cambiamo fondamentalmente le proprietà degli spinori. Ok, ma perché è un problema ? Non è esattamente quello che dovremmo aspettarci? Voglio dire, questa non è potenzialmente una fonte importante di intuizione piuttosto che un problema (anche se interrompe la supersimmetria)?
Allora ... perché uno dei pionieri della supergravità dovrebbe proporre una definizione diversa da (2)?
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Risposte
Quando eseguiamo la "rotazione stoppino" di solito non siamo interessati a studiare le proprietà della trasformazione che scrivi come eq. (2), ma ottenendo una teoria dei campi euclidea le cui quantità di interesse (di solito funzioni di correlazione) quando si continua analiticamente nello spazio di Minkowski producono le quantità corrispondenti della teoria dei campi lorentziana. Il motivo per cui vogliamo farlo è in larga misura perché le proprietà di convergenza della teoria dei campi euclidee sono meglio comprese.
Quindi perdere / guadagnare / cambiare le rappresentazioni degli spinori durante la rotazione ingenua di Wick (la tua eq. (2)) è un problema per questo obiettivo, perché l'argomento su come / perché la continuazione analitica funziona di solito si basa sulla teoria del campo euclidea e lorentziana che ha " stesso contenuto del campo ". Poiché questo non funziona per gli spinori in generale, è necessario fare qualcos'altro, ed è ciò che van Nieuwenhuizen sta cercando nel documento che colleghi: una teoria del campo euclidea da cui puoi ottenere le funzioni di correlazione lorentziana per continuazione analitica (e piccole modifiche agli indici di spinore). Non stiamo cercando informazioni su cosa faccia la "rotazione stoppino" agli spinori, stiamo cercando una trasformazione che ottenga la teoria del campo euclidea "corretta" in cui eseguire i nostri calcoli.