Data un'equazione di curvatura, come si trova la famiglia di equazioni parametriche che si adattano?
Ho visto alcune domande e risposte qui per casi speciali sulla ricerca delle equazioni parametriche per una data curvatura. Per esempio; Trova l'equazione parametrica per una curva con una determinata curvatura . Tuttavia temo di non capire il processo generale. Qualcuno potrebbe guidarmi attraverso il processo?
Mi interessano le equazioni parametriche della forma
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
Quindi aver firmato la curvatura
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
La mia domanda è
Data l'equazione per $\kappa(s)$, come trovi la famiglia di soluzioni per $\gamma(s)$?
Presumo che ci sia una curva unica che soddisfa $\kappa(s)$, anche se la soluzione finale avrà tre costanti, $x_0$, $y_0$, e $\theta$, che codificherà una traslazione e una rotazione arbitrarie (o alcuni equivalenti) di tale curva, poiché, intuitivamente, la curvatura non si preoccupa della traslazione o rotazione dell'intera curva.
Come nota finale, sono semplicemente uno studente troppo ottimista, e come tale mi sono occupato solo accademicamente di equazioni differenziali del primo ordine e ho solo curvatura da autodidatta. Indipendentemente da ciò, li capisco concettualmente. In quanto tale, apprezzerei una risposta più o meno al mio livello di comprensione.
Risposte
Non solo c'è una rotazione e una traslazione arbitrarie, ma anche una riflessione e parametrizzazione della curva. Quindi, prima di tutto, prendi la parametrizzazione standard della lunghezza dell'arco in cui diventa la definizione della curvatura$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ dove $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ è il vettore tangente e $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$è "il" vettore normale. Quest'ultimo è definito solo fino a un segno, quindi è necessario sceglierne uno arbitrariamente. Questo risolve la manualità della curva, cioè il riflesso.
Quindi l'equazione differenziale da risolvere è $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Come equazione del secondo ordine, questo dovrebbe fornire quattro costanti di integrazione, ma c'è il vincolo arclength $(x')^2+(y')^2=1$, quindi di fatto rimangono solo tre costanti: due per le traduzioni e una per la rotazione.
Come ho affermato "ho trattato solo accademicamente equazioni differenziali del primo ordine" , quindi questa risposta alla mia domanda potrebbe essere piena di difetti, ma questa è (credo) la forma generale che stavo cercando. Mille grazie a Chrystomath per l'intuizione.
Se $(x')^2+(y')^2=1$, poi
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Anche, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Permettere $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Con una logica simile, segue
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Pertanto, l'equazione parametrica può essere trovata (convenzionalmente scambiando $\sin$ e $\cos$) essere
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Ecco, come profetizzato da Chrystomath: tre costanti (due per la traduzione e una per la rotazione), e le riflessioni (indicate da $\pm$)!